Calculo Integral

Definición de integral indefinida

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o anti derivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee: integral de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

El cálculo de la integral indefinida es muy parecido al de la integral definida con la diferencia que al final no necesitamos poner los valores ni del límite superior de la integración ni del límite inferior de la integración.

Esto también significa que la solución de la integración indefinida nunca es un número, sino una función del integrando dado. La forma más fundamental para computar la integración de un integrando dado es,

Aquí el valor de n no debe ser igual a −1.

Para integrar un integrando de la forma exponencial, donde el exponente es alguna variable, solo incremente el valor del exponente de la variable por uno y coloque el nuevo exponente en el denominador de la variable dada. Está bastante claro que el valor de n = −1 no es admisible dado que este convertiría el valor del denominador en cero, resultando este en un valor indefinido como respuesta.

Otro método básico de la integración es,

Esto significa que la integración de una constante producirá la variable de integración como salida con la constante dada como su coeficiente.

Existen algunas fórmulas de integración las cuales se utilizan directamente para la integración de funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas, etc.

Algunas de estas fórmulas se enumeran a continuación,

Aquí tenemos g(x) como la función principal. Ahora reemplazamos g(x) con a lo que producirá,

g(x) = a

g’(x) = da/ dx

da = g’(x) dx

Los valores anteriores pueden ser sustituidos en la expresión real como integrando y la integración se puede seguir como es usual para el nuevo integrando. Por último, sustituimos de vuelta los valores reemplazados dentro de la expresión para obtener la respuesta final.

Para analizar si la sustitución se ha llevado a cabo de forma correcta o no, asegúrese que después de la sustitución la nueva variable reemplazada aparezca y que la variable original de la integración

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