Ecuaciones de la Parábola
Enviado por rigobertt • 6 de Junio de 2012 • Examen • 817 Palabras (4 Páginas) • 642 Visitas
Parábola: Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no está en la recta dada. Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya distancia al punto F es igual a la distancia a larecta DD.
ii. La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 6.1.1.) Frecuentemente se hace referencia a la parábola de directriz DD y de foco F y se denota por PDD-F.
Esto es:
PDD-F={P:PFF=PD}={P:PF = 1}
PD
fig. 6.1.1.
Observaciones:
i. Al trazar por F la perpendicular a la directriz. Se llamará : la distancia del foco a la directriz.
ii. Sea V el punto medio del segmento . Como , entonces el punto V pertenece a la parábola. V es llamado VERTICE de la parábola.
El lugar correspondiente a la parábola es simétrico respecto a la recta . En efecto, si P’ es el simétrico de P respecto a la recta , entonces PP’’ = P’’P’. Por lo tanto, el triángulo PP’’F es congruente al triángulo P’P’’F. De donde P’F = PF y como P’D’ = PD, entonces, , lo cual nos muestra que P’ e PDD-F.
6.1.1. Ecuaciones Analíticas de la Parábola
En esta sección sólo se considerarán parábolas con el vértice V en el origen de coordenadas y cuyos focos estarán localizados sobre los ejes x ó y (fig. 6.1.2.)
Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F (fig 6.1.2 b)entonces, .
Pero, y
Luego,
Elevando al cuadrado ambos miembros de la última igualdad, y desarrollando los binomios, se obtiene: , y simplificando queda finalmente,
(1)
Recíprocamente, sea P(x, y) un punto del plano, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que P e PDD-F.
Por hipótesis, (2)
Se debe probar que
De esta forma se ha demostrado la parte i del siguiente teorema.
TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola)
i. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2 (fig. 6.1.4) viene dada por : y2=2px(3). Recíprocamene si un punto P del plano, satisface (3) entonces P x PDD-F
ii. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta y = -p/2 (fig. 6.1.3.) es: x2 = 2py (4)
iii. Recíprocamente, si un punto P del plano, satisface (4) entonces P x PDD-F
Observaciones: sus lugares geométricos, presentan únicamente a la variable x elevada en una potencia par. ii. Igualmente, las gráficas de la fig. 6.1.4. corresponden a las gráficas de parábolas abiertas hacia la derecha (p > 0) e izquierda (p < 0) respectivamente, con focos en el punto F(p/2,
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