Ejercicios de tipos de interés

1. Una persona solicita un préstamo hipotecario por importe de 200.000€ para la adquisición de su vivienda. Dicho préstamo se amortiza en 20 años mediante mensualidades constantes al tanto nominal del 4% anual y tiene los siguientes gastos aparejados: gastos de estudio 0,1%, comisión de apertura 0,5%, honorarios del notario por la escritura pública 575€ y honorarios del gestor por tramitación 350€. Calcular la cantidad a pagar mensualmente y el coste efectivo de la operación suponiendo que todos los gastos se pagan en el momento de la concesión del préstamo.

Nos dan el tipo de interés nominal (TIN) anual pero que se paga mensualmente, luego nos dan j12 y tenemos que calcular i12:

[pic 1]

Nos dicen que se paga en mensualidades constantes, luego se usa el sistema francés. Podemos utilizar la fórmula de valor actual de una anualidad constante (o en este caso, mensualidad constante):

[pic 2]

Tenemos que tener en cuenta que:

• C0 es la cantidad que tenemos que devolver al banco 200.000€ que es la cantidad total que nos ha prestado.
• En el interés tenemos que poner i12=0,00333 porque es el interés que pagamos en cada mensualidad por  la cantidad que tenemos pendiente de amortizar o devolver al banco.
• Y n es el número de mensualidades que hay que pagar, luego son el número de meses que hay en 20 años = 20x12 = 240 meses = 240 cuotas constantes

Sustituimos en la expresión:

[pic 3]

Luego para devolver la cantidad prestada y los intereses tendremos que pagar al banco 240 cuotas de 1.211,96€.

Y para calcular el coste efectivo del préstamo, esto es su TAE (tasa anual equivalente) tenemos que plantear los flujos de caja del préstamo.

Comenzamos por calcular el flujo de caja que recibimos en el momento inicial, para ello tenemos que partir de la cantidad que nos prestan (200.000€) e ir restando todos los costes que nos cargan en ese momento 0 y que hacen que el flujo de caja del momento inicial (la cantidad de la que disponemos inicialmente en la cuenta) sea inferior a 200.000€:

Luego la cantidad que nos ingresarán en nuestra cuenta una vez firmado el contrato de préstamo serán 197.850€, aunque la cantidad que nos han prestado y que nos hemos comprometido a devolver con intereses es 200.000€, por este motivo, porque incurrimos en unos costes adicionales al interés que tenemos que pagar, el coste efectivo de la operación (la TAE) no coincidirá con el tipo de interés del préstamo, será mayor.

Y el flujo de caja de cada uno de los meses sería la mensualidad o cuota que hemos calculado antes, esto es, 1.211,96€.

Y ya podemos representar gráficamente los flujos de caja del préstamo:

Para poder calcular el coste efectivo de la operación tenemos que traer al mismo momento, el momento inicial o momento 0, todos los flujos de caja que va a generar la operación, cada uno con su signo, positivo si es una entrada de dinero y negativo si es una salida de dinero, y calcular la tasa de actualización (o de descuento o de interés o k) que iguale el valor (en valor en euros de hoy) de las entradas con el de las salidas de dinero que va a generar el préstamo. Para ello tenemos que actualizar al momento 0 cada flujo de caja.

A hacer eso le llamamos calcular el Valor Actual Neto (VAN) de la operación, la expresión o fórmula del VAN es la siguiente:

[pic 4]

[pic 5]

En la expresión del VAN vemos que tenemos una incógnita a la que denominamos k y que es la tasa de descuento o “tasa de interés”.

Para calcular el coste efectivo del préstamo, hemos empezado por plantear los flujos de caja reales de la operación, hemos calculado el Valor Actual Neto (VAN) de dichos flujos, luego ya tenemos todos los flujos de caja en valor del dinero del momento 0. Y para calcular el coste efectivo de ese dinero que nos han prestado, vamos a calcular la tasa de descuento o tasa de interés que haga que en valor del dinero en el momento 0, las entradas de dinero que nos supone el préstamo sean iguales a las salidas de dinero que nos supone el préstamo. Luego lo que hacemos es igualar el Valor Actual Neto (VAN) a cero, y la tasa que resuelve dicha expresión es la Tasa Interna de Rendimiento (TIR) de la operación. Es decir sería la representación del tipo de interés o coste de esa operación en la que el único coste fuese ese el tipo de interés.

[pic 6]

[pic 7]

Dicha expresión habría que resolverla mediante iteraciones, probando tasas de descuento hasta que salga que el resultado de la expresión es 0. Utilizando una hoja de cálculo, hay una fórmula para calcularla. De cara a los ejercicios de clase o examen, qué duda cabe que basta con dejar la expresión planteada.

Utilizando Excel, resulta que TIR es 0,003436 o 0,3436%

Pero esa TIR es el tipo efectivo mensual y nos han pedido el coste efectivo anual o tasa anual efectiva que es la que llamamos TAE:

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