Estadistica

Estadística

Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información en un numero representativo. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización.

Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que esta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición.

Entre las medidas de tendencia central tenemos:

* Media aritmética.

* Media ponderada.

* Media geométrica.

* Mediana.

Moda.

1. MEDIA

Es la medida de posición central más utilizada, la más conocida y la más sencilla de calcular, debido principalmente a que sus ecuaciones se prestan para el manejo algebraico, lo cual la hace de gran utilidad. Su principal desventaja radica en su sensibilidad al cambio de uno de sus valores o a los valores extremos demasiado grandes o pequeños. La media se define como la suma de todos los valores observados, dividido por el número total de observaciones.

Media Aritmética = Suma de todos los valores observados

Numero total de observaciones

Cuando los valores representan una población la ecuación se define como:

Donde (m) representa la media, (N) representa el tamaño de la población y (Xi) representa cada uno de los valores de la población. Ya que en la mayoría de los casos se trabajan con muestras de la población todas las ecuaciones que se presenten a continuación serán representativas para las muestras. La media aritmética para una muestra esta determinada como

Donde (X) representa la Media para la muestra, (n) el tamaño de la muestra y (Xi) representa cada uno de los valores observados. Esta fórmula únicamente es aplicable si los datos se encuentran desagrupados; en caso contrario debemos calcular la media mediante la multiplicación de los diferentes valores por la frecuencia con que se encuentren dentro de la información; es decir,

Donde (Yi) representa el punto medio de cada observación, (ni) es la frecuencia o número de observaciones en cada clase y (n) es el tamaño de la muestra siendo igual a la suma de las frecuencias de cada clase.


Para entender mejor este concepto vamos a suponer que hemos tomado la edad de 5 personas al azar cuyos resultados fueron (22, 33, 35, 38 y 41). Para facilitar su interpretación se han generado tres rangos de edad los cuales se han establecido de 21 a 30 años, de 31 a 40 años y de 41 a 50 años. Si nos fijamos en estos rangos notaremos que los puntos medios son 25, 35 y 45 respectivamente. Los resultados de la organización de estos datos se representan en la tabla [5-1].

Si aplicamos la fórmula para valores agrupados obtendríamos que la media es igual a

Lo que nos indicaría que el promedio de edad de los encuestados es de 35 años. Si ha estos mismos resultados le aplicamos la ecuación para datos desagrupados (Ecuación 5-3), tomando como referencia cada uno de los valores individuales, obtendríamos que la media es igual a

Lo que nos indicaría que el promedio de edad para los datos desagrupados es de 34 años aproximadamente. Esta diferencia se debe a que al agrupar los datos se pierde parcialmente la exactitud de los cálculos, principalmente al aumentar el número de datos.

Propiedades

Las principales propiedades de la media aritmética son:

* Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos.

* Su valor es único para una serie de datos dada.

* Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es más apropiado acompañarla de una medida de dispersión.

* Se interpreta como "punto de equilibrio" o "centro de masas" del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su propio valor:

* Minimiza las desviaciones cuadráticas de los datos respecto de cualquier valor prefijado, esto es, el valor de es mínimo cuando . Este resultado se conoce como Teorema de König. Esta propiedad permite interpretar uno de los parámetros de dispersión más importantes: la varianza.

* Se ve afectada por transformaciones afines (cambios de origen y escala), esto es, si xi' = axi + b entonces , donde es la media aritmética de los xi', para i = 1, ..., n y a y b números reales.

* Es poco sensible a fluctuaciones muéstrales, por lo que es un parámetro muy útil en inferencia estadística.

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Inconvenientes de su uso

Este parámetro, aún teniendo múltiples propiedades que aconsejan su uso en situaciones muy diversas, tiene también algunos inconvenientes, como son:

* Para datos agrupados en intervalos (variables continuas) su valor oscila en función de la cantidad y amplitud de los intervalos que se consideren.

* Es una medida a cuyo significado afecta sobremanera la dispersión, de modo que cuanto menos homogéneos son los datos, menos información proporciona. Dicho de otro modo, poblaciones muy distintas en su composición pueden tener la misma media. Por ejemplo, un equipo de baloncesto con cinco jugadores de igual estatura, 1,95, pongamos por caso, tendría una estatura media de 1,95, evidentemente, valor que representa fielmente a esta homogénea población. Si embargo, un equipo de estaturas más heterogéneas, 2,20, 2,15, 1,95, 1,75 y 1,70, por ejemplo, tendría también, como puede comprobarse, una estatura media de 1,95, valor que no representa a casi ninguno de sus componentes.

* En el cálculo de la media no todos los valores contribuyen de la misma manera. Los valores altos tienen más peso que los valores cercanos a cero. Por ejemplo, en el cálculo del salario medio de un empresa, el salario de un alto directivo que gane 1.000.000 de € tiene tanto peso como el de diez empleados "normales" que ganen 1.000 €. En otras palabras, se ve muy afectada por valores extremos.

* No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos.

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Media aritmética ponderada

A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada.

Si x1,x2,...,xn son nuestros datos y w1,w2,...,wn son sus "pesos" respectivos, la media ponderada se define de la siguiente forma:

2. MEDIANA

Con esta

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