FUNDACION CENTRO COLOMBIANO DE ESTUDIOS PROFESIONALES..

FUNDACION CENTRO COLOMBIANO DE ESTUDIOS PROFESIONALES. [pic 1]

AREA: ESTADISTICA INFERENCIAL

PERIODO ACADEMICO: I-2012

PROBABILIDAD

NOMBRE:

GRADO

COD:

FECHA

1. INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD.

Es el estudio de experimentos o fenómenos  aleatorios o de libre determinación o de libre ocurrencia.

Históricamente, la Teoría de la probabilidad comenzó con el estudio de los juegos de azar, tales como dados, cartas, ruletas y otros, para un determinación de cómo serian sus resultados para ganar o perder.

La probabilidad de un evento A se define:

P(A) = [pic 2]

1. ESPACIO MUESTRAL: Regularmente se representa con una letra mayúscula S, pero de igual manera usted puede utilizar otra diferente.

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento o un fenómeno.

Ej. Se lanza un dado y se analiza su resultado: Observamos que el dado puede caer en 1, 2, 3, 4, 5, o 6., por lo tanto el espacio muestral será:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

1. EVENTO: Un evento es un conjunto de resultados posibles del fenómeno a analizar. Es un subconjunto del espacio muestral.

Dado el evento de que el dado pueda caer en una cifra par, entonces los posibles resultados en que puede caer el dado serán: dos, cuatro y seis, por lo tanto el evento será:

A = { 2, 4, 6 }

La combinación de los eventos se puede dar para formar nuevos eventos:

1. A U B si y solo si A o B suceden o ambos.
2. A  B si y solo si A Y B suceden simultáneamente.[pic 3]
3. Ac Complemento de A, si y solo si A no sucede.

1. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: Se llaman mutuamente exclusivos, si son disyuntos, ósea que la intersección de los conjuntos sea vacía.  A  B = φ ( No pueden suceder simultáneamente )[pic 4]

Ejemplo No 1: Se S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } un espacio muestral, de las posibilidades de salir un numero al ser lanzado un dado y los eventos A = {2, 4, 6} de salir un numero par. B = {1, 3, 5} de salir un número impar. C = {2, 3, 5}

A  B = φ, Observamos que no hay elementos comunes, por lo tanto los eventos son mutuamente exclusivos.[pic 5]

Determinando la probabilidad de cada uno de los eventos.

P(A) =   =    = 0.5 o equivalente a un 50%[pic 6][pic 7]

P(B) =   =    = 0.5 o equivalente a un 50%[pic 8][pic 9]

P(A) =   =    = 0.5 o equivalente a un 50%[pic 10][pic 11]

P(S) =   =    = 1 o equivalente a un 100%[pic 12][pic 13]

P(C) =   =    = 0.5 o equivalente a un 50%[pic 14][pic 15]

Formando nuevos eventos con la combinación de los eventos anteriores A, B y C:

A U B = { 2, 4, 6, 1, 3, 5}

A U C = { 2, 4, 6, 3, 5 }

B  C = { 3, 5 }[pic 16]

CC  =  { 1, 4, 6 }

Las probabilidades de los nuevos eventos serán:

P(AUB) =    =    =  1 o equivalente a un 100%[pic 17][pic 18]

P(AUC) =    =    = 0.83 o equivalente a un 83%[pic 19][pic 20]

P(BC) =    =    = 0.33 o equivalente a un 33%[pic 21][pic 22][pic 23]

P(Cc) =    =    = 0.5 o equivalente a un 50%[pic 24][pic 25]

1. AXIOMAS DE PROBABILIDAD.

Si consideramos el espacio muestral S y los eventos A y B, cuyas funciones de probabilidad son P(S) probabilidad de S. P(A) probabilidad del evento A. P(Cc) probabilidad del evento Cc. Se cumplen los siguientes axiomas:

P1    Para todo evento A, se cumple que   0  P(A)  1[pic 26][pic 27]

P2    P(S)  =  1

P3    Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces se cumple que              P(AUB)  =  P(A)  +  P(B) .

Para el ejemplo No 1, observamos que:

1. 0  P(A)  1. Observamos que el valor de cada una de las probabilidades es menor que 1 y mayor que 0.[pic 28][pic 29]
2. P(S)  =  1. Se ve fácilmente que la probabilidad del espacio muestral S es 1.
3. P (AUB)  =  P(A)  +  P (B). La probabilidad de cada evento es P(A)  = 0.5  P(B) = 0.5 y la probabilidad de P(AUB) = 1.0

1. TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD.

Estos teoremas se deducen de los axiomas:

T1.   La probabilidad del conjunto vacio es 0.  P() = 0[pic 30]

T2.   Si Ac es el complemento del evento A, entonces   P(Ac)  =   1  -  P(A) 

T3.   Si A c B, entonces P(A)  ≤  P(B)

T4.   Si a y b son dos eventos, entonces P(A-B)  =  P(A)  -  P(AB)[pic 31]

T5.   Si A y B son dos eventos, entonces  P (AUB)  =  P(A)  +  P (B)  +  P(AB) [pic 32]

EJEMPLO No2: Sea S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, el espacio muestral de los resultados del fenómeno dado y los eventos A = {0, 1, 2, 4, 6, 8} y B = {1, 2, 3, 4, 5}.

La grafica del conjunto será:                                                U

                                          A                                           B[pic 33]

                                                       0

                                                                         1             3

                                                    6                  2

                                                            4          5

                                                     8                               7    

                                                                  9                                                                                  

Calculado:

A U B  =   { 0, 1, 2, 4, 6, 8, 3, 5 }

A  B  =   { 1, 2, 4 }[pic 34]

Ac  =   { 3, 5, 7, 9 }

Bc  =   { 0, 6, 7, 8, 9 }

A – B  =  { 0, 6, 8 }

B – A  =  { 3, 5 }

Los cardinales de cada uno de los conjuntos:

#A = 6,     #B = 5,     #(AUB) = 8,     #(AB) = 3,     #(Ac) = 4,     #(Bc)  = 5 [pic 35]

#(A-B) = 3     #(B-A) = 2.

Calculando las probabilidades.

P(A)  =   =    =    =  0.6 equivalente en porcentaje 60%[pic 36][pic 37][pic 38]

P(B)  =   =    =    =  0.5 equivalente en porcentaje 50%[pic 39][pic 40][pic 41]

P(AUB)  =  =   =    =  0.8 equivalente en porcentaje 80%[pic 42][pic 43][pic 44]

P(AB)  =   =    =   0.30 equivalente en porcentaje 30%[pic 45][pic 46][pic 47]

P(A-B)  =   =    =   0.30 equivalente en porcentaje 30%[pic 48][pic 49]

P(B-A)  =   =    =   0.20 equivalente en porcentaje 20%[pic 50][pic 51]

P(AC)  =   =    =   0.40 equivalente en porcentaje 40%[pic 52][pic 53]

P()  =   =    =   0.50 equivalente en porcentaje 50%[pic 54][pic 55][pic 56]

Si aplicamos los teoremas obtenemos:

T2.     P(AC) = 1  -  P(A)  =  1  -  0.60  =  0.40

T2.     P(BC) = 1  -  P(B)  =  1  -  0.50  =  0.50

T4.     P(A-B)  =  P(A)  -  P(AB)  =  0.60  -  0.30  =  0.30[pic 57]

T5.     P(B-A)  =  P(B)  -  P(BA)  =  0.50  -  0.30  =  0.20[pic 58]

T6.     P (AUB)  =  P(A)  +  P (B)  +  P(AB)  =  0.60  +  0.50  -  0.30  = 0.80[pic 59]

T6.      P (AUB)  =  P(A-B)  +  P (B-A)  +  P(AB) =  0.30  +  0.20  +  0.30  =  0.80[pic 60]

1. ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD.

Sea un espacio muestral finito tal que S = { a1, a2, a3, ……. an }la probabilidad del espacio muestral será la suma de las probabilidades parciales e igual a 1.

P(S) = P(a1) + P(a2) + P(a3) + ……………… + P(an) = 1

EJEMPLO No 3. Lanzamos cuatro monedas una a una y observamos los números de sellos que pueden salir en cada lanzamiento.

El espacio muestral sería así:

1. Que no salga ningún sello. 0S

CCCC

1. Que salga un sello y tres caras. 1S

SCCC, CSCC, CCSC, CCCS.

1. Que salgan dos sellos y dos caras. 2S.

SSCC, CSSC, CCSS, SCSC, CSCS, SCCS.

1. Que salgan tres sellos y 1 cara. 3S

SSSC, CSSS, SCSS, SSCS.

1. Que salgan cuatro sellos y o caras. 4S

SSSS.

El conjunto S = { 0, 1, 2, 3, 4 } de los posibles resultados de caer las monedas.

Observamos que existen 16 posibilidades de salir los resultados.

Si calculamos las siguientes probabilidades.

1. La probabilidad de que salgan 4 caras o no salga un sello.

P(0) =  = 0.0625[pic 61]

1. La probabilidad de que salga un sello.

P(1) =  = 0.25[pic 62]

1. La probabilidad de que salgan dos sellos.

P(2) =  =   = 0.375[pic 63][pic 64]

1. Probabilidad de que salgan 3 sellos.

P(3) =  =  = 0.25[pic 65][pic 66]

1. Probabilidad de que salgan 4 sellos.

P(4) =  = 0.0625[pic 67]

P(S) = P(0)  +  P(0)  +  P(0)  +  P(0)  +  P(0) 

       =   +    +    +     +     = 1[pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72]

1. La probabilidad de que por lo menos salga un sello.

Los resultados son C = { 1S, 2S, 3S, 4S }

P(C)  =  P(1S)  +  P(2S)  +  P(3S)  +  P(4S)

        =    +    +    +    =  [pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77]

1. Sea D el evento de que salgan todos sellos o todas caras.

Los resultados de D = { 4S, 4C }

P(D)  =  P(4C)  +  P(4S) 

        =     +     =   = [pic 78][pic 79][pic 80][pic 81]

EJEMPLO No 4. Cuatro caballos A, P, S, Q, intervienen en una carrera. Si A tiene el doble de probabilidades de ganar que P, y P el doble de probabilidades de ganar que S, S el doble de probabilidades de ganar que Q. Cuáles son las respectivas probabilidades de ganar cada uno de los caballos.

Sea p la probabilidad de ganar el menos factible.

Q  = p

S  =  2Q  = 2p

P  =  2S  = 2(2Q)  = 4Q  = 4p

A  =  2P  =  2(2S)  = 2(2(2Q)))  =  8Q  = 8p

Como el valor total de una probabilidad de un espacio muestral debe ser uno, entonces.

P(A)  +  P(P)  +  P(S)  +  P(Q)  =   1

 8p  +   4p   +  2p   +   p     =   1

                                  15p    =   1

                                       P    =   [pic 82]

Los valores de la probabilidad de ganar cada caballo es de:

P(A)  =  8p  =  8 x    =   [pic 83][pic 84]

P(P)  =  4p  =  4 x    =   [pic 85][pic 86]

P(S)  =  2p  =  2 x    =   [pic 87][pic 88]

P(Q)  =  1p  =  1 x    =   [pic 89][pic 90]

Cuál es la probabilidad de que A o P ganen la carrera.

El evento es F  = { A, P }

P(F)  =  P(A)  +  P(P) 

        =    +    =    =    =  0.80[pic 91][pic 92][pic 93][pic 94]

La probabilidad de que A o P ganen es de  o de 0.80, o también equivale a decir que tienen el 80% de probabilidades de ganar, que es equivalente a decir que tienen el 20% de probabilidades de perder.[pic 95]

EJEMPLO No 5. Se lanzan 2 dados al mismo instante, pero sin identificarlos y se observan cada uno de los resultados.

El espacio muestral de los posibles resultados seria:

(1, 1)  (1, 2)  (1, 3)  (1, 4)  (1, 5)  (1, 6)

(2, 2)  (2, 3)  (2, 4)  (2, 5)  (2, 6)

(3, 3)  (3, 4)  (3, 5)  (3, 6)

(4, 4)  (4, 5)  (4, 6)

(5, 5)  (5, 6)

(6, 6)

El total de posibilidades de caer los dados son S = 21

1. Cuál es la probabilidad de que la suma sea 6.

A = {La suma sea 6 }  =  { (1, 5), (2, 4), (3, 3) }

P(A)  =    =  [pic 96][pic 97]

1. La probabilidad de B = { La suma sea 5 }  = { (1, 4), (2, 3) }

P(B)  =    [pic 98]

1. La probabilidad C = {Salgan pares} Los números sea iguales.

C  = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) }

P(C)  =    =  [pic 99][pic 100]

1. La probabilidad D = { La suma sea impar }

D ={(1, 2),(1, 4),(1, 6),(2, 3),(2, 3), (3, 4), (3, 6), (4, 5), (5, 6)}

P(D)  =    =  [pic 101][pic 102]

1. La probabilidad de E = { La suma sea 7 }  = { (1, 6), (2, 5), (3, 4) }

P(E)  =    =  [pic 103][pic 104]

1. La probabilidad de F = { La suma sea par }
2. La probabilidad de G = { Los dos dados sean números impares }
3. La probabilidad de H = {Uno de los dados sea un número impar }

EJERCICIO No 1.

Qué pasaría si los dados están identificados posiblemente con un color, en el cual uno es verde y el otro es rojo.

1. Cuál sería el espacio muestral.

S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), ………(6,6)} = 36

1. Probabilidad de que la suma sea 6.

E={(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} = 5

[pic 105]

1. Probabilidad de que la suma de los dados sea 5.

E = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} = 4

[pic 106]

1. Probabilidad de que ambos sean iguales (pares o cenas).

E = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} = 6

[pic 107]

1. Probabilidad de que la suma sea 7.

E= {(1,6), (2,5),(3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} = 6

[pic 108]

1. La probabilidad de que la suma de los dados sea par.

E = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,3), (4,5), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)} = 18

[pic 109]

1. La probabilidad de que los dos dados sean números impares.

E = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)} = 10

[pic 110]

1. La probabilidad de que uno de los dados sea un número impar.

E = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5)} = 27

[pic 111]

1. Compare los resultados y que concluye.

Diferentes resultados.

1. ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES.

Es un espacio muestral S finito de probabilidad, donde cada punto muestral tiene la misma probabilidad.

P(A) = [pic 112]

EJEMPLO No 6. Selecciónese una carta al azar de una baraja Española corriente de 52 cartas. Determínese la probabilidad de:

1. Que al sacar una carta sea una espada. Evento A
2. Que sea una figura, J, Q, K. Evento B
3. Hallar la P(A) - P(B) - P(AUB) - P(AB) [pic 113]

El evento A = {As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K }. Tenemos que son 13 cartas diferentes de espadas, de un total de 52 cartas de la baraja.

P(A)  =    =   = 0.25  =  25%[pic 114][pic 115]

El evento B = {Que sea una figura}. Las figuras que se encuentran en la baraja son:

ESPADAS: J  Q   K

COPAS: J  Q   K

OROS: J  Q   K

BASTOS: J  Q   K

El total de cartas son 12 posibles, de un total de 52 cartas.

P(B)  =    =   = 0.2307  =  23.07%[pic 116][pic 117]

AB = {Que la carta sea una Espada y Figura}. Son un total de 3 cartas de 52 posibles.[pic 118]

P(AB)  =    =  0.0576  =  5.76%[pic 119][pic 120]

AUB = {Sea Espada o Figura}.

ESPADA: As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K

OROS: J, Q, K

ESPADAS: J, Q, K

BASTOS: J, Q, K

Hay un total de 22 posibilidades de un total de 52 cartas.

P(AUB)  =    =   = 0.4230  =  42.30%[pic 121][pic 122]

EJERCICIOS:

1. Sean 2 Boliches escogidos al azar de un grupo de 12, de los cuales 4 de estos son o están en mal estado y sea:

A={Dos boliches en mal estado} = 2

B={Dos boliches en buen estado} = 2

1. El espacio muestral serán los posibles grupos de 2 boliches que se pueden formar de los 12 posibles.

[pic 123]

1. De los 4 boliches en mal estado se pueden formar grupos de 2 boliches.

[pic 124]

1. La probabilidad de A será: P(A) =

[pic 125]

1. De los 8 boliches en buen estado se pueden formar grupos de 2 boliches.

[pic 126]

1. La probabilidad de B será: P(B) =

[pic 127]

1. Probabilidad de que por lo menos un boliche este en mal estado.

Halla uno malo o halla dos malos.

[pic 128]

[pic 129]

[pic 130]

[pic 131]

EJERCICIOS:

1. Una moneda está cargada (aumentada de peso) de modo que la posibilidad de salir cara (C), sea el doble que la de salir el sello (S). Hallar la probabilidad P(C) y P(S).

La probabilidad de salir cara es el doble de la de salir sello.

[pic 132]

Por el teorema fundamental de la probabilidad, tenemos que:

[pic 133]

[pic 134]

[pic 135]

Despejando la , tenemos que:[pic 136]

[pic 137]

Como la probabilidad de

[pic 138]

1. Sea un dado cargado tal que la probabilidad de salir un numero cuando es lanzado el dado es proporcional a dicho numero (Por ejemplo la probabilidad de salir 3 es la mitad de salir 6). Sea A={Un numero par}       B={Numero primo}       C={Número impar}  D={Numero par y primo}       E={Número impar y primo}.

La probabilidad de salir cada número es:

[pic 139]

Por teorema fundamental de probabilidad, tenemos que:

[pic 140]

[pic 141]

[pic 142]

[pic 143]

1. El evento A={2,4,6}

[pic 144]

[pic 145]

1. El evento B={3,5}

[pic 146]

[pic 147]

1. El evento numero C={1,3,5}

[pic 148]

[pic 149]

1. El evento D={2}

[pic 150]

1. Determínese la probabilidad p de cada uno de los siguientes eventos finitos equiprobables.

1. Que salga un número par al lanzar un dado normal.

Hallamos el espacio muestral:

[pic 151]

El evento es {2,4,6} = 3

La probabilidad es:

[pic 152]

1. Que resulte un Rey al sacar una carta de una baraja Española.

El espacio muestral es la baraja española, que tiene en cada pinta:

As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sota, caballo y rey.

Son cuatro pintas: Oros, copas, espadas y bastos.

S = 48

El evento es: Hay 4 reyes, uno por cada pinta.

E = 4

[pic 153]

1. Que aparezca por lo menos un sello al lanzar tres monedas normales.

S = {CCC, CCS, SSC, SSS} = 4

E = {CCS, SSC, SSS} = 3

[pic 154]

1. Sacar un 4 en una baraja de póker.

Espacio muestral.

4 pintas: Trébol, pica, corazones y diamantes.

As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K., Son 13 cartas por pinta.

S = 13x4 = 52

El evento:

Hay 4 cuatros en la baraja de póker.

E = 4

[pic 155]

1. Que resulte una figura al sacar una carta de una baraja de Póker.

S = 52

E = 3x4 = 12

[pic 156]

1. Que aparezca una bola blanca al sacar una sola bola de una urna que contiene 4 blancas, 3 rojas y 5 bolas azules.

S = Todas las bolas =  4+3+5 = 12

E = Las bolas blancas = 4

[pic 157]

1. Sacar un As de una baraja Española, en un solo intento en una carta.

S = Todas las cartas = 4pintas x 12 cartas = 48

E = Las pintas x As = 4x1 = 4

[pic 158]

1. Se sacan dos cartas al azar de una barja Española. Hallar la probabilidad p de que:

1. Las dos cartas escogidas sean Espadas.

S = Grupos de a dos, formados de las 48 cartas.

[pic 159]

E = Grupos formados de a dos cartas de las 12 espadas.

[pic 160]

[pic 161]

Otro método.

[pic 162]

1. Las dos cartas escogidas al azar sean el mismo número.

S = 1.128

E = Grupos de 4(As)+Grupos de 4(2)+     +Grupos de 4(Reyes)=

[pic 163]

[pic 164]

Otro método.

[pic 165]

1. Las dos cartas sean figuras.

E = 3 Figuras x 4 pintas = 3x4 = 12. Formar grupos de 2 cartas.

[pic 166]

[pic 167]

Otro método.

[pic 168]

1. La una sea Espada y la otra Bastos.

E = De cada pinta se escoge de una.

[pic 169]

  = 12x12 = 144

[pic 170]

Otro método.

[pic 171]

1. Las dos sean Ases.

E = Grupos de a dos ases.

[pic 172]

[pic 173]

Otro método.

[pic 174]

1. Las dos sean Oros o Figuras.

E= Los grupos de a dos Oros + Grupos de 2 figuras.

[pic 175]

[pic 176]

E = 45+66 = 111

[pic 177]

Otro método.

[pic 178]

[pic 179]

1. De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:

Hallamos el espacio muestral. Grupos de r=2 cartas de n=48 posibles.

S=
[pic 180]

1. Las dos Sean copas.

El evento. Son grupos de r=2, de n=12 posibles.

[pic 181]

[pic 182]

Otro método.

[pic 183]

1. Al menos una sea copas.

E=Grupos de r=2 cartas en orden, de n=12 posibles.

E= Las dos sean copas + Una copa y otra cualquiera.

[pic 184]

[pic 185]

[pic 186]

E = 66+12x36 = 66+432 = 498

[pic 187]

Otro método.

[pic 188]

[pic 189]

Otro método.

[pic 190]

[pic 191]

[pic 192]

1. Una sea copa y la otra espada.

E = (Copa, Espada).

Se cumple para cada una de las pintas.

[pic 193]

E= 12x12 = 144 = 288

[pic 194]

1. Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos Han elegido francés como asignatura optativa.

Organizamos un diagrama de Venn que nos muestre la situación de los estudiantes

[pic 195]

El espacio muestral del problema.

E = Chicos + Chicas = 10 + 10 = 20

1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudio francés?

El evento es: Chico o Estudie francés.

E = 10 + 5 Chicas que estudian francés = 15

[pic 196]

1. ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés?

El evento.

E = 5 chicas que no estudian francés.

[pic 197]

1. En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:

Se hace el llenado de la tabla para determinar el espacio muestral y el evento.

1. Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?

[pic 198]

1. Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

[pic 199]

1. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

[pic 200]

1. Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas diferentes, salgan:

El espacio muestral de lanzar las dos monedas.

S = {CC, SS, CS, SC} = 4

1. Dos caras.

E = {CC} = 1

[pic 201]

1. Dos sellos.

E = {SS} = 1

[pic 202]

1. Una cara y un sello.

E = {CS, SC} = 2

[pic 203]

1. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

1. Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:

1. La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.
2. La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

1. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

1. La probabilidad de que salga el 7.
2. La probabilidad de que el número obtenido sea par.
3. La probabilidad de que el número sea múltiplo de tres.

1. Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:

1. Salga 6 en todos.
2. Los puntos obtenidos sumen 7.

1. Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

El espacio muestral es:

S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}

1. Un número par.

E = {2, 4, 6} entonces 3.

[pic 204]

1. Un múltiplo de tres.

E = {3, 6} entonces 2.

[pic 205]

1. Mayor que cuatro.

E = {5, 6} entonces 2.

[pic 206]

1. Menor que 4.

E = {1, 2, 3} entonces 3.

[pic 207]

1. Múltiplo de tres, en pares.

E = {6} entonces 1.

[pic 208]

1. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando:

1. La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.

El espacio muestral está formado por todas las posibilidades que existen de combinar dos bolas.

S= {BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN} = 16

1. Probabilidad que las sacadas sean iguales.

El evento.

E = {BB, RR, VV, NN} = 4

[pic 209]

1. Probabilidad que las sacadas sean diferentes.

El evento.

E = {BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV} = 12

[pic 210]

1. La primera bola no se devuelve.

El espacio muestral está formado por todas las posibilidades que existen de combinar dos bolas.

S= {BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV} = 12

1. Probabilidad que las sacadas sean iguales.

El evento.

E = { } = 0

[pic 211]

1. Probabilidad que las sacadas sean diferentes.

El evento.

E = {BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV} = 12

[pic 212]

1. Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes. Se extrae una al azar, Cual es la probabilidad de que:

Espacio muestral es la suma de todas las bolas.

S = 8+5+7 = 20

1. Sea roja.

E = 8

[pic 213]

1. Sea verde.

E = 7

[pic 214]

1. Sea amarilla.

E = 5

[pic 215]

1. No sea roja.

E = Son amarillas o verdes = 5 + 7 = 12

[pic 216]

1. No sea amarilla.

E = Que sea verde o roja = 8 + 7 = 15

[pic 217]

1. Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de:

S = {RR, RB, BB, BR},

1. Extraer las dos bolas Rojas con reemplazamiento.

[pic 218]

1. Extraer las dos bolas Blancas con reemplazamiento.

[pic 219]

1. Extraer una bola Roja y otra Blanca con reemplazamiento.

[pic 220]

1. Extraer una bola Blanca y otra Roja con reemplazamiento.

[pic 221]

1. Extraer las dos bolas Rojas sin reemplazamiento.

[pic 222]

1. Extraer las dos bolas Blancas sin reemplazamiento.

[pic 223]

1. Extraer una bola Roja y otra Blanca sin reemplazamiento.

[pic 224]

1. Extraer una bola Blanca y otra Roja sin reemplazamiento.

[pic 225]

1. Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer:

El espacio muestral serán todos los grupos de r=5 cartas de n=52 posibles.

S = [pic 226]

S = [pic 227]

1. 4 ases.

E = [pic 228]

[pic 229]

[pic 230]

[pic 231]

1. 4 ases y un rey.

E = [pic 232]

[pic 233]

[pic 234]

[pic 235]

1. 3 cincos y 2 sotas.

E = [pic 236]

[pic 237]

[pic 238]

[pic 239]

1. Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden.

E = [pic 240]

[pic 241]

[pic 242]

1. 3 de un palo cualquiera y 2 de otro.

Hay 4 formas de elegir el primer palo y 3 de elegir el segundo palo.

E = [pic 243]

[pic 244]

[pic 245]

[pic 246]

1. Al menos un as.

Sera igual a 1 – los que no tienen ningún as.

E = [pic 247]

[pic 248]

[pic 249]

[pic 250]

1. Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 12 bombillas, de las cuales hay cinco fundidas; en la segunda hay ocho bombillas, estando tres de ellas fundida, y la tercera caja hay cinco bombillas fundidas de un total de quince. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas?

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de la primera caja, esté fundida?

[pic 251]

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de la segunda caja, esté buena?

[pic 252]

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de la segunda caja, esté fundida?

[pic 253]

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

[pic 254]

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté buena?

[pic 255]

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté buena o esté fundida?

[pic 256]

1. En una casa matriz de venta de carros se realiza un sorteo de un vehículo entre sus clientes y se selecciona por sorteo a uno de ellos y se le introducen tres llaveros A, B y C, para poder abrir la puerta del vehículo y así ser el ganador: El primero llavero con cinco llaves y dos abren el auto, el segundo con siete y tres abren el auto y el tercero con ocho y 6 bloquean el auto. Se escoge al azar un llavero. Cuál es la probabilidad de que:

1. Sea el ganador con el primer llavero.
2. Abra el carro con cualquiera de los llaveros.
3. No abra con el tercer llavero.
4. Con cuál de los llaveros tiene mayor probabilidad de ganar.

1. En una urna hay 3 monedas, con las siguientes características. La primera es una moneda normal, la segunda es una moneda que tiene dos caras y la tercera es una moneda cargada, en la cual la probabilidad de salir cara es  de la probabilidad de salir sello.[pic 257]

Si se saca una moneda al azar, cuál será la probabilidad de que al lanzarla salga:

1. Cara.
2. Sello.

1. En una competencia ciclística, donde solo hay cuatro corredores,  que tienen la opción de ganar. Si Metelón tiene el cuádruplo de probabilidad de ganar que Sobarrón, y Sobarrón tiene el doble de probabilidad de ganar que Pedalero y Pedalero el doble de Cipriano.

1. Determinar la probabilidad de ganar cada uno.

Se plantean las probabilidades de cada uno de los ciclistas en función de los demás y se halla la probabilidad de cada uno de ellos.

,             ,             [pic 258][pic 259][pic 260]

 [pic 261]

 [pic 262]

[pic 263]

[pic 264]

[pic 265]

[pic 266]

[pic 267]

[pic 268]

[pic 269]

[pic 270]

1. Quien ganara la carrera, según el estudio de la probabilidad?

Gana La carrera el de mayor probabilidad que es Metelón con .[pic 271]

1. En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. Al elegir un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

1. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

1. Cuál es la probabilidad de que atiendan un carro y sea de la jornada de la tarde:

[pic 272]

1. Cuál es el porcentaje de los carros que acuden por problemas mecánicos. Recuerde que hallar el porcentaje y la probabilidad son operaciones equivalentes.

[pic 273]

1. Calcular la probabilidad de que atiendan un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana:

[pic 274]

1. Calcular la probabilidad de que atiendan un automóvil con problemas mecánicos acuda por la tarde:

[pic 275]

1. En un aula de clases hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?    

[pic 276]

1. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y use gafas?

[pic 277]

1. Hallar el porcentaje de los estudiantes que usan gafas

[pic 278]

1. La probabilidad de que un estudiante con gafas sea mujer.

[pic 279]

1. Probabilidad de que un estudiante sin gafas sea hombre.

[pic 280]

1. Sabemos que el estudiante seleccionado no usa gafas, ¿Qué probabilidad hay de que sea hombre?

[pic 281]

1. Sabemos que el estudiante seleccionado no usa gafas, ¿Qué probabilidad hay de que sea mujer?

[pic 282]

1. En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, ¿cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:

[pic 283]

                                      F                                           B

                                            0.30    0.10    

                                                                         0.20                      

                                                     0.40

1. Juegue ni futbol, ni baloncesto.
2. Juegue sólo al fútbol:
3. Juegue sólo al baloncesto.
4. Practique uno solo de los deportes:
5. Que practique baloncesto:
6. Si en total en la escuela hay 80 estudiantes practicando Deportes. Cuál es el número de estudiantes que practica Futbol?
7. De total de estudiantes de la escuela Deportes. Cuál es el número de estudiantes que practica Baloncesto?
8. Si del total estudiantes practicando Deportes se quiere hallar el número de estudiantes que practica solo Futbol?
9. Cuál es el número de estudiantes que practica Futbol y Baloncesto?
10. Cuál es el número de estudiantes que practica Futbol o Baloncesto?

Simeón Cedano Rojas

Profesor de la materia

PROBABILIDAD INTRODUCCION.CECEP