Funciones Y Relaciones

Relaciones.

Una relación es un conjunto de parejas ordenadas.

Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, R es una relación de A en B sí y sólo sí R es subconjunto de A x B.

Si R Ì A x A se dice que R es una relación de A en A o simplemente una relación en A.

0 y A x B son relaciones de A en B, puesto que 0 Ì A x B y A x B Ì A x B.

Dominio de una Relación.

Sea R una relación. Se llama Dominio de R y se denota por D(R) al conjunto formado por todas las primeras componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:

D(R) = { x / ($ y) (x, y) Î R}

Rango de una Relación.

Sea R una relación. Se llama Rango de R y se denota por g(R) al conjunto formado por todas las segundas componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:

 (R) = { y / ( x) (x, y)  R}

En consecuencia,

y Î g (R) Û ($ x)((x, y) Î R).

y Ï g (R) Û (" x)((x, y) Ï R).

Relación inversa. Sea R una relación. Entonces la relación {(y, x) / (x, y) Î R} se denomina relación inversa y se denota R-1. En consecuencia,

• (y, x) Î R-1 Û (x, y) Î R.

• (y, x) Ï R-1 Û (x, y) Ï R.

• Si R es una relación de A en B, entonces R-1 es una relación de B en A.

Relación Idéntica.

Sea A un conjunto. La relación dada por: {(x, y) / x Î A Ù y = x} se denomina relación idéntica en A y se designa IA:

• En consecuencia:

• (x, y) Î IA Û x Î A Ù y = x.

• (x, y) Ï IA Û x Ï A Ú y ¹ x.

•

...