RELACIONES Y FUNCIONES

ÍNDICE

RELACIONES …………….…01

INTRODUCCIÓN ……………….01

PAR ORDENADO (PO). …………….…01

IGUALDAD DE PARES ORDENADOS. …………...….02

PRODUCTO CARTESIANO …………….…02

RELACIÓN BINARIA. …………….…03

FUNCIÓN …………….…05

DEFINICIÓN. ..…………...…05

TIPOS DE FUNCIONES …….…………………………………..…..06

FUNCIONES ESPECIALES……………………………….….…06

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. ……………………….….09

FUNCION LOGARÍTMICA. ………………………………..….13

FUNCIÓN PERIÓDICAS:………………………….………...…14

FUNCIÓN INVERSA. …………………………………….…....14

PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN……………………………….15

ALGEBRA DE FUNCIONES……………………………………….18

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES……………………………….....18

RELACIONES Y

FUNCIONES

RELACIONES.

INTRODUCIÓN. En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas en un plano por medio dos rectas coordenadas perpendiculares llamadas ejes coordenados, que se cortan en el origen O. La recta horizontal recibe el nombre de “eje x” y la vertical el de “eje y”; se indican con X e Y respectivamente. Con lo anterior, se trata de un plano coordenado o plano xy. Los ejes coordenados lo dividen en cuatro partes llamadas primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes. Los puntos de los ejes no pertenecen a cuadrante alguno.

A cada punto P de un plano xy se le puede asignar un par ordenado (a; b).El primer elemento del par ordenado es llamado la coordenada x (o abscisa) de P y el segundo elemento del par ordenado es llamado la coordenada y (u ordenada) de P. Decimos que P tiene coordenadas (a; b) y nos referimos al punto (a; b) o al punto P(a; b). A 1 la inversa, todo par ordenado (a; b) determina al punto P con coordenadas a y b.

PAR ORDENADO (PO).

Llamaremos “par ordenado” de números reales a la expresión(a, b) donde a es llamada la primera componente y b es llamada la segunda componente.

(a, b)

Obs 1: Primer y segundo elemento es una forma de llamar a las componentes del PO, porque los números todavía no están definidos. Justamente el concepto de número se define a partir del PO.

IGUALDAD DE PARES ORDENADOS.

Los pares ordenados (a, b) y (c, d) diremos que son iguales si sus correspondientes componentes son iguales, esto es:

(a,b)=(c,d)↔a=c ∧b=d

Ej.:

(6,2) y (6,4) no son iguales sus segundas componentes, son diferentes.

(a,b)≠(c,d)↔a≠c ∧b≠d

PRODUCTO CARTESIANO

Siendo 2 conjuntos A y B, llamaremos productos cartesianos de A y B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a, b), de tal manera que la primera componente a pertenece al conjunto A y la segunda componente b pertenece al conjunto B.

A×B=├ {(a,b)/ a∈A┤∧b∈B}

R×R={(a,b)∈R^2∕a∈R∧b∈R}

Y se representan por:

Sean los conjuntos:

A= {3; 4; 5} B= {6; 7; 8}

AxB = {(3,6) ;(3,7) ;(3,8) ;(4,6) ;(4,7) ;(4,8) ;(5,6) ;(5,7) ;(5,8)}

PROPIEDADES:

A≠B→A×B≠B×A

A×∅=∅×A→∅

A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)

A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)

A×(B-C)=(A×B)-(A×C)A×(B×C)≠(A×B)×C

A ⊂B→(A×C)⊂(B×C)∀C

Si A⊂C∧B⊂D→(A×B)⊂(C×D)

(A’×B')⊂(A×B)

RELACIÓN BINARIA.

Siendo A y B conjuntos no vacíos, la relación de A y B se define:

Ej.:

Sean: A= {1, 4} y B= {2, 5, 6} entonces:

AxB= {(1, 2); (1,5) ;(1, 6) ;(4,2) ;(4,5) ;(4,6)}

Los siguientes conjuntos de pares ordenados son relaciones de A a B:

R1= {(1,5); (1,6); (4,2)} →(V)

R2= {(4,6); (4,7); (4,5)} →(F) puesto que (4,7) ∉A×B

R3= {(1,5); (4,2); (4,6)} →(V)

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN.

Dominio de una relación. Es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados que definen a la relación.

Dom(R) = {x ∈ A/(x,y)∈R}

Rango. Llamado también imagen del dominio o conjunto de imágenes de los elementos del dominio, es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados que definen a la relación.

Rang(R) = {y ∈ B/(x,y)∈R}

DIAGONAL DE UN CONJUNTO. Sea un conjunto A, la diagonal de un conjunto A, se define.

Sea: A= {123}

D(A)= {(1,1) ;(2,2) ;(3,3)}

PROPIEDADES DE RELACIÓN BINARIA.

RELACION REFLEXIVA. Una R en A, diremos que es reflexiva si(x, x) ∈ R , esto es:

∀x ∈ A: (x, x) ∈ R

RELACION SIMÉTRICA. Una R en A, diremos que es simétrica si (x, y) ∈ R implica que (y, x) ∈ R

x, y ∈ A: (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R

RELACION TRANSITIVA. Una R en A, diremos que es transitiva si:

x, y, z ∈ A: (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R

RELACIÓN ANTISIMÉTRICA.

x, y ∈ A: (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA. Una relación R en A, diremos que es de equivalencia si es: reflexiva, simétrica y transitiva.

RELACIÓN DE ORDEN. Es de orden cuando solo si es reflexiva, anti simétrica y transitiva

Ejemplo.

Sea: A= {1, 2, 3}

Relación inversa. Sí AxB es una relación inversa de A en B; entonces a la relación inversa de R lo denotaremos por R-1 y está definido por:

R-1= {(y, x) ∈ BxA/(x, y) ∈ R}

Ej.:

Si: R= {(1,5) ;(2,3) ;(3,2)}

R-1= {(5,1) ;(3,2) ;(2,3)}

GRÁFICA DE UNA RELACIÓN BINARIA. Un conjunto de “G” de puntos, en el plano cartesiano representara la gráfica de una relación R, si dichos pares ordenados satisfacen la relación, es decir:

E( x,y) =0 ∨E( x,y)<0∨ E( x,y)>0 ∨ E( x,y)≤0∨ E( x,y)≥0

CRITERIOS PARA EL TRABAJO DE GRÁFICAS.

INTERSECCIÓN CON LOS EJES COORDENDAS.

Con el eje x : E(x,y) n “x”, {(x, y) ∈R2 /x=0}

Con el eje y : E(x,y) n “y”, {(x, y) ∈R2 /y=0}

SIMETRÍA CON LOS EJES COORDENADAS Y EL ORIGEN DE COODENADAS.

Con el eje x : si E(x,y) n→“E (x, y) = E(x, -y)

Con el eje y : si E(x,y)

...