Relaciones Y Funciones

PAR ORDENADO

Es un conjunto de dos elementos considerados en un

determinado orden. Si los elementos del par ordenado son

“a” y “b”, al conjunto se le denota por (a ; b) y se define de

la manera siguiente:

( a ; b ) = { {a} , { a , b } }

Donde: a = primera componente

b = segunda componente

Propiedades:

1. (a; b)  (b; a) no conmutativa

2. Si: (a; b) = (c; d)  a = c  b = d

PRODUCTO CARTESIANO

Dados dos conjuntos no vacíos A y B se llama conjunto

producto o producto cartesiano de A y B denotado por A 

B, al conjunto de todos los pares ordenados (a ; b) donde

aA y bB .

A  B = {(a ; b) / a  A  b  B}

Donde :

A = conjunto de partida

B = conjunto de llegada

Ejemplo: Dados los conjuntos:

A = {1, 2, 3} B = {3, 4}

Determinar: A x B y B x A

A  B = {(1, 3); (1, 4); (2, 3) (2, 4); ( 3,3); (3,4)}

B  A = {(3,1); ( 3, 2); (3,3); (4,1); (4,2); (4 ,3)}

PROPIEDADES

I. Si (a ; b) = (c ; d) entonces: a = c  b = d

II. A  B  B  A (no es conmutativo)

III. n(A  B) = n(A)  n(B)

RELACIÓN

Dados dos conjuntos no vacíos, “A” llamado de partida

y “B” llamado de llegada se dice que R es una relación de

A en B ( R : A  B) si y solo si R es un subconjunto de

A x B

Es decir: R  AxB

R = {(a, b) / a  A  b  B; a R b}

Ejemplo:

Si: A = {1, 2, 3}  B = {3,4}

se definen las siguientes relaciones de A en B:

R1 = {(x, y) / x = y}  R1 = { (3:3) }

R2 = {(x, y) / y = 3}  R2 = {( 1 , 3); (2 , 3); (3 ,3 )}

R3 = {(x, y) / x < y} 

R3 = { (1, 3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4) }

 Dominio: Dom(R) Es el conjunto formado por las

primeras componentes de los pares ordenados de la

relación.

Del ejemplo anterior:

Dom (R1) = {3}

Dom (R2) = { 1 , 2 , 3 }

Dom (R3) = { 1 , 2 , 3 }

 Rango: Rang(R) Es el conjunto formado por las

segundas componentes de los pares ordenados de la

relación.

Del ejemplo anterior:

Ran (R1) = { 3 }

Ran (R2) = { 3 }

Ran (R3) = { 3 , 4 }

CLASES DE RELACIONES

Siendo R una relación de A en A (

2 A ) esta podrá ser de

las siguientes clases

LIC:CARLOS FERNANDO BUDIEL DIAZ

RELACION REFLEXIVA

xA( x; x)R

RELACIÓN SIMETRICA

Si: ( x; y )R( y; x)R

RELACIÓN TRANSITIVA

Si ( x; y )R y ( y; z )R ( x; z )R

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA

Es de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva a la

vez

Ejemplo:

Dado el conjunto A 1;2;3

Se define una relación en A ( R : A  A) de la siguiente

manera :

R  (1;1) , (2;2) , (3;3);(2;3) , (3;2) 

¿ R es una relación de equivalencia ?

Resolución

Reflexiva para todo aR(a;a)R

1A(1;1)R ¡Correcto!

2A(2;2)R ¡Correcto!

3A(3;3)R ¡Correcto!

Evidentemente, R es reflexiva

Simétrica (a;b)R(b;a)R

(2;3)R(3;2)R ¡Correcto!

Evidentemente, R es simétrica

Transitiva Si (a;b)R y (b;c)R (a;c)R

Si (2;2)R y (2;3)R (2;3)R ¡Correcto!

Si (3;3)R y (3;2)R (3;2)R ¡Correcto!

Si (2;3)R y (3;2)R (2;2)R ¡Correcto!

Evidentemente, R es transitiva

Por lo tanto R es una relación de equivalencia.

PAR ORDENADO

1. Si los siguientes pares ordenados son iguales:

(a2 + 1 ; b – 3) = (17 ; a + 1) hallar a.b

A) 0 B) 32 C) 12 D) 10 E) Más de una

PRODUCTO CARTESIANO

2. Si: A = {2 , 0} B = {1, –2} serán ciertas:

I. n(B  A) = 4

II. R1 = {(2 ; 0) , (1; –2)}  R1  A  B

III. (B  A) = {(1; 2) ; (1; 0) ; (–2 ; 0)}

A) Sólo I C) Sólo I y III E) Todas

B) Sólo II D) Sólo II y III

3. Si: C = {3, 5, 7} ; D = {1, 2} serán ciertas:

I. n(C  D) = n(D  C)

II. (2 ; 7)  C  D

III. (5 ; 1)  C  D

IV. (2 ; 7)  D  C

A) Sólo I C) Sólo IV E) Ninguna

B) Sólo I y III D) Sólo II

RELACIONES

4. Halle el número de elementos de la relación:

R (x;y) ZxZ/ x y 25 2 2    

A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4

5. Si: C = {(x, y)  N2 / 5  x2 + y2  8} y

D = {(x, y)  N2 / 2y + x  3}

son ciertas:

I. n(C) + n(D) = 9

II. Dom (C) = Dom (D)

III. Ran (D) = {0, 1}

A) Sólo I C) Sólo II E) N.A.

B) Sólo I y III D) Sólo II y III

LIC:CARLOS FERNANDO BUDIEL DIAZ

CLASES DE RELACIONES

6. En A 1,2,4,6,8 se define la relación

R (x; y) / 3 es divisor de x  y 

Cuales son verdaderas :

A) R es reflexiva B) R es transitiva

C) R es simétrica D) R tiene 9 elementos

E) R es de equivalencia

7. Si “U” es el conjunto de triángulos del plano RxR y S

es la relación en “U” :

S (x; y) / x es semejante a y 

Cuales son verdaderas:

A) S es reflexiva B) S es simétrica

C) S es transitiva D) S no tiene elementos

E) R es de equivalencia

FUNCIÓN

Se denomina función de A en B (f: A  B) a una

relación en la que se cumple que todo elemento del

conjunto de partida que tenga imagen en el conjunto de

llegada esta debe única, esto es a cada elemento del

dominio de f le corresponde un único elemento del

conjunto B.

Según el diagrama sagital de las relaciones vistas en

los ejemplos anteriores, tenemos que:

 R1 es una función por que las imágenes de 2 y 3 son

únicas

 R2 no es una función por que el elemento 1 tiene

imágenes distintas que son 3 y 4

 R3 si es una función por que cada elemento de A le

corresponde un único elemento de B

NOTACIÓN FUNCIONAL

A veces es posible relacionar en

...