Relaciones y Funciones

Relaciones y Funciones

En esta secci´on presentamos las relaciones, entre ´estas, nos ocuparemos con

especial atenci´on de la m´as importante de las relaciones: la funci´on.

Dado que el concepto de relaci´on se presenta soportado en la noci´on de par

ordenado, iniciamos introduciendo de forma sucinta esta idea. Un par ordenado1

1Para la noci´on de par ordenado se emplea la ya acostumbrada (x, y) que es com´un en la

1

2 CAP´ ITULO 1. FUNCIONES

es una pareja de objetos de tipo (x, y). Por ejemplo (4, 5) es un par ordenado de

n´umeros reales, (α, β) es un par ordenado de letras griegas. Los elementos que for-

man un par ordenado son llamados coordenadas o componentes. En el caso del

par ordenado (4, 5), el n´umero 4 se llama primera coordenada o primera com-

ponente y el n´umero 5 se llama segunda coordenada o segunda componente.

Definici´on 1.2.1 Una relaci´on es un conjunto de pares ordenados. Si R es una

relaci´on, xRy denota el hecho que el par ordenado (x, y) est´a en R; o que x est´a re-

lacionado con y seg´un la relaci´on R; es decir

xRy ⇐⇒ (x, y) ∈ R,

esto formaliza la idea de que dos objetos est´an relacionados si la pareja formada por

ellos pertenece a la relaci´on.

Consecuentemente, si son dados conjuntos no vac´ıos A y B, por una relaci´on

entre ´estos, se entiende una correspondencia R entre los elementos de A y los ele-

mentos de B, la cual es dada en ocasiones por alguna condici´on y genera un conjunto

de pares ordenados cuyas primeras componentes son elementos de A y las segundas

componentes son elementos de B. M´as espec´ıficamente,

R =



aRb : a ∈ A ∧ b ∈ B

⊂ A × B.

Ejemplos 1.2.2 1. Si A = {x : x oficina U de A }, B = N. Podemos definir

diversas relaciones entre A y B. A saber, la relaci´on R que asocie a cada

oficina su n´umero de tel´efono, de este modo, si la oficina x tiene n´umero

telef´onico 194717, la oficina y los n´umeros 195674, 195678, y la oficina z no

tenga n´umero de tel´efono se tiene que (x, 764717), (y, 195674), (y, 195678) ∈ R.

Gr´aficamente esta relaci´on se ilustra como

x

y

z

194717

195674

195678

A B

R

literatura matem´atica, dado que ya fue empleado el s´ımbolo (x, y) en el cap´ıtulo anterior para

denotar el intervalo abierto de extremos x, y, se sugiere al lector tomar cuidado con esta notaci´on

para pares ordenados y guiarse por el contexto para evitar confundirse.

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