RELACIONES Y FUNCIONES

RELACIONES Y FUNCIONES

Producto Cartesiano

Definición.- El producto cartesiano de A y B, se define por:

A × B = {(a, b)/a ∈ A ∧ b ∈ B}

A y B conjuntos dados, A × B se lee A cruz B (a, b) es un par ordenado, recuerde que a es el primer elemento del par y b es el segundo, en consecuencia (a, b) 6= (b, a)

Gráfico

Como los elementos de A × B son pares ordenados se acostumbra graficar dicho conjunto en un sistema de coordenadas rectangulares, es decir

Relaciones

Definición.- R es una relación de A en B si y solo si: R ⊆ A × B. Así, notemos que los elementos de una relación son pares ordenados.

Notación

1. R es una relación de A en B, también se denota por R: A → B

2. Si el par (x, y) pertenece a la relación R, se acostumbra a denotar por (x, y) ∈ ∨ x=R(y) ∨ y = R(x)

Dominio y Rango

Sea R ⊆ A × B una relación, se definen:

Dominio de R por el conjunto

Dom R = {x ∈ A/∃y ∈ B: (x, y) ∈ R}

Rango de R por el conjunto

Ran R = {y ∈ B/∃ x ∈ A: (x, y) ∈ R}

Es claro que Dom R ⊆ A y que Ran R ⊆ B

Propiedades

Sea R: A → A una relación, se define las siguientes propiedades

1. Refleja ∀ x ∈ A: (x, x) ∈ R

2. Simétrica x, y ∈ A: (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R

3. Transitiva x, y, z ∈ A: (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R

4. Asimétrica x, y ∈ A: (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y

5. Irrefleja ∀x ∈ A: (x, x) /∈ R

Tomado de la página web: http://www.luiszegarra.cl/moodle/pluginfile.php/129/mod_resource/content/1/cap2.pdf

Funciones

Definición.- Sean X y Y dos conjuntos no vacíos. Una función de X en Y es una regla que se asigna a cada elemento x ∈ X una única y ∈ Y. Si una función asigna y a un x ∈ X particular, decimos que y es el valor de la función en x.

Por lo general, una función se denota por letras como f, g, F o G. Denotemos con f una función determinada. El conjunto X para el cual f asigna una única y ∈Y se denomina el dominio de la función f. A menudo se indica mediante Df. El conjunto de valores correspondiente y ∈ Y se conoce como el rango de la función y por lo regular se denota por Rf.

Función cuadrática

Una función de la forma

Con a, b y c constantes, se denomina función cuadrática.

La función cuadrática más simple se obtiene haciendo b y c iguales a cero, en cuyo caso obtenemos f (x) = ax^2

La gráfica de la función f (x) = ax^2 + bx + c (a

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