Concepto de relación y función

Índice

Concepto de relación y función

Clasificación de las funciones

Funciones pares e impares

Función producto de composición

Calculo de dominio, rango y grafico de problemas específicos

Definición geométrica y analítica de concepto de limite de una función

Teoremas para el cálculo del límite de una función

Problemas específicos de cálculo de una función

Continuidad de una función en un punto o en un intervalo

Asíntotas horizontales y verticales

Concepto de relación y función

RELACIÓN:

El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.

Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática) por ejemplo:

Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma)

Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que

S → I

Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS del primer conjunto con UNO o MÁS del segundo conjunto.

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA:

Una relación de equivalencia sobre K es una relación matemática ᷉ que cumple las siguientes propiedades:

° Es reflexiva: ∀a ∈ K, a ~ a

° Es simétrica: a ~ b ⇒ b ~ a

° Es transitiva: a ~ b, b ~ c ⇒ a ~ c

EJEMPLOS:

La igualdad es la relación de equivalencia básica.

Para toda función f tenemos x ~f y si y sólo si f(x) = f(y).

Toda relación de equivalencia proviene del caso anterior usando, por ejemplo, la función de pase al cociente [x] = [y].

Un ejemplo de relación de equivalencia es la relación de congruencia modulo M en el conjunto de los números enteros.

Entonces, sea a ~ b si y sólo si b - a es múltiplo de M. Esta relación es de equivalencia porque:

*Es reflexiva: a - a = 0, que es múltiplo de M.

*Es simétrica: si a - b es múltiplo de M, entonces b - a = -(a- b) también es múltiplo de M.

*Es transitiva: sean k y l números enteros tales que a - b =M k y b - c = M l. Entonces, a - c = (a - b) + (b - c) = M k +M l = M (k + l) y por tanto un múltiplo de M.

*En particular, si M = 2 tenemos la tradicional clasificación en pares e impares.

* Si M = 12 tenemos la, así llamada, aritmética del reloj.

Función

La definición moderna de función debida a Cauchy es la siguiente:

Se dice que ƴ es función de ӽ cuando a cada valor de la variable ӽ corresponden uno o varios valores determinados de la variable ƴ.

La notación para expresar que ƴ es función de ӽ es ƴ = f (ӽ).

Otra definición que podemos dar más específicamente con un ejemplo es la siguiente:

Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda, llamada imagen.

El precio de un viaje en taxi viene dado por:

Ƴ = 3 + 0.5 ӽ

Siendo ӽ el tiempo en minutos que dura el viaje.

Como podemos observar la función relaciona dos variables: ӽ & ƴ.

ӽ es la variable independiente

ƴ es la variable dependiente (depende de los minutos que dure el viaje).

Las funciones se representan sobre unos ejes cartesianos para estudiar mejor su comportamiento.

x 10 20 30

y= 3 + 0.5x 8 13 18

Clasificación de las funciones

Las funciones se clasifican en algebraicas y trascendentes.

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser: explícitas e implícitas.

Son explícitas cuando se pueden obtener las imágenes de ӽ por simple sustitución.

Ejemplo: f (ӽ) = 5ӽ - 2.

Y serán implícitas si no se pueden obtener las imágenes de ӽ por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones. 5ӽ - ƴ – 2 = 0. En este caso hay que despejar primero la variable ƴ.

LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS SE CLASIFICAN EN POLINÓMICAS, RACIONALES Y RADICALES A TROZOS.

1.- Funciones polinómicas: Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f (ӽ) = a0 + a1 ӽ + a1 ӽ² +a1 ӽ³ + ••• + anӽn. Su dominio todos los números reales, es decir cualquier número real tiene imagen.

Funciones polinomiales especiales:

Funcionpolinómica de primer grado f (ӽ) = mӽ + n con m ≠ 0. Donde m es la pendiente y b la ordenada en el origen, el dominio son todos los números reales. Su grafica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función. Ejemplo:

Funciones constantes: el criterio viene dado por un número real f (ӽ) = K. Es una función cuyo rango consta de un solo número real.

La grafica es una recta horizontal paralela al eje de abscisas.

Función idéntica: es una función definida por f (ӽ) = ӽ, es decir el dominio de la función es igual al rango de la función. Su grafica es una línea recta que pasa por el origen

Funciones racionales: Es una función definida mediante el cociente de dos funciones polinomiales.

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de ӽ que anulan el denominador.

Las Funciones trascendentes: la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

〖y=〗⁡〖e^x 〗+senx

〖y=〗⁡〖3^x 〗

〖y=〗⁡〖log2x+5〗

Funciones pares e impares

Se dice que una función es par si f(x) = f (-x), en el caso de que f(x) = -f(-x) se dice que la función es impar.

Ejemplos 1:

La función y(x)=x es impar ya que:

f(-x) = -x

Pero como f(x) = x entonces:

f(-x) = - f(x).

Ejemplo 2:

Otra función impar es y = 1/x

Cuando f(x) = -f(-x)

Ejemplo 3:

La función f(x)=x2 es par ya que f(-x) = (-x)2 =x2

Función producto de composición

La idea principal de la composición de funciones

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