Actividad 3. Relaciones y funciones

Actividad 3. Relaciones y funciones

Al finalizar esta actividad podrás plantear y resolver problemas y ejercicios sobre relaciones y funciones, resuelve lo siguiente:

Una pareja ordenada (a,b) cumple la siguiente propiedad (a,b)=(c,d) si y sólo si a=c y b=d, definimos el producto cartesiano de dos conjuntos Ay Bcomo A×B={((a,b))⁄a∈A y b∈B}. Resuelve lo siguiente:

Si A={a,b,d,e,f},B={1,2,3,4,5},C={3,7,9},D={a,e,i} calcula A×B,B×A,A×∅,A×A,B×B,(A∪D)×B,A×(B∪C)

Sean A y B conjuntos de una relación R de A en B que se define como cualquier subconjunto de A×B, el dominio de R se define como el subconjunto {x∈A⁄(∃y)∈B,tal que (x,y)∈R}y al conjunto B se le llama el contradominiode la relación, la imagen de una relación se define como el subconjunto de B que satisface: {b∈B⁄(∃a)∈A,tal que(a,b)∈R} Como notación se suele escribir (a,b)∈R,aRb. Si A=B, decimos que R es una relación sobre A.Resuelve los siguientes ejercicios:

Sea D la relación definida sobre el conjunto N={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} como (a,b)∈Dsi a divide a b. Escribe explícitamente los miembros de D, así como el dominio, contradominio e imagen de D.

Definimos R sobre el conjunto de números enteros como (a,b)∈R si a y b dejan el mismo residuo cuando se dividen entre 3. Describe el dominio, contradominio e imagen de esta relación.

Una relación R sobre A se dice que es reflexiva si aRa ∀a∈A, se dice que es simétrica si (a,b)∈R⟹(b,a)∈R, se dice que es transitiva si (a,b) y (b,c)∈R⟹(a,c)∈R.Contesta lo siguiente:

Califica a las relaciones definidas en 4) como reflexivas, simétricas o transitivas.

Una relación sobre un conjunto A se dice que es de equivalencia si cumple con ser reflexiva, simétrica y transitiva, da tres ejemplos de relaciones de equivalencia.

Una función f de A en B, es una relación de A en B que cumple losiguiente:si (a,b),(a,c)∈f entonces b=c y se denota como f(a)=b, el dominio, el contradominio y la imagen de f se definen igual que para una relación. También se usa la notación: f:A→B.

Determina si las siguientes relaciones son funciones y determina su imagen:

{((x,y))⁄x,y∈Q,x^2+y^2=2}

{((x,y))⁄x,y∈Z,x^2=y}

{(x,y)⁄x,y∈N,y=3x}

Si A={1,2,3,4,5} y B={a,b,c,d}, lista cuatro funciones de A en B.

Investiga las definiciones de inyectividad, suprayectividady biyectividad entre funciones.

Determina si las siguientes funciones son biyectivas

f:Z→Z,f(z)=3z.

f:Z→Z,f(z)=z^2.

f:Q→Q,f(q)=3q-1.

f:R→R,f(x)=3x+1.

Si existe una función biyectivaf:A→B, de un conjunto A en un conjunto B podemos definir la función inversa g:B→A, como g(b)=a, tal que f(a)=b, da tres ejemplos de funciones biyectivas

...