Actividad 3 Considere la función en el intervalo 0 ≤ t ≤ 2π

Actividad 3

Considere la función

[pic 1]

en el intervalo 0 ≤ t ≤ 2π

a) Calcule analíticamente (a mano) el desarrollo de f(t) en serie de Fourier de recorrido completo.

b) Calcule analíticamente (a mano) el desarrollo de f(t) en serie de Fourier demedio recorrido en cosenos.

c) Calcule analíticamente (a mano) el desarrollo de f(t) en serie de Fourier de medio recorrido en senos.

d) Utilice la función MiSerieFourier mediante un archivo tipo script para obtener las funciones correspondientes a las sumas parciales con n = 3, 5 y 20 de los tres apartados anteriores de esta actividad. No muestre los resultados de la corrida del script en el reporte. Únicamente liste el script.

e) Desarrolle código en un archivo tipo script de Matlab en el que, mediante el uso del comando str2func convierta las cadenas de texto obtenidas en el apartado anterior a funciones y a partir de ellas genere gráficas donde muestre la función f (t) en el intervalo en que está definida, y su correspondiente desarrollo en serie de Fourier con las sumas parciales correspondientes a n = 3, 5 y 20. Asegúrese de ajustar adecuadamente los límites en la ventana de graficación, de etiquetar correctamente los ejes, y de usar los identificadores adecuados para cada una de las curvas. Muestre seis periodos de la función (tres a la izquierda y tres a la derecha del origen).

Solución

d)

El script generado para este inciso es el mostrado a continuación

for i=1:3

syms x k;

n=[3,5,20];

f=['0','sin[x]'];

q=[0,pi,2*pi];

evalin(symengine,'assume(k,Type::Integer)');

a = @(f,x,k,q)

2*int(f(1)*cos(2*k*x*pi/q(3))/q(3),x,q(1),q(2))+2*int(f(2)*cos(2*k*x*pi/q(3))/q(3),x,q(2),q(3));

b = @(f,x,k,q) 2*int(f(1)*sin(2*k*x*pi/q(3))/q(3),x,q(1),q(2)) +      2*int(f(2)*sin(2*k*x*pi/q(3))/q(3),x,q(1),q(2));

am = @(f,x,k,q) 2*int(f(1)*cos(k*x*pi/q(3))/q(3),x,q(1),q(2))+2*int(f(2)*cos(k*x*pi/q(3))/q(3),x,q(2),q(3));

bm = @(f,x,k,q) 2*int(f(1)*sin(k*x*pi/q(3))/q(3),x,q(1),q(2)) + 2*int(f(2)*sin(k*x*pi/q(3))/q(3),x,q(1),q(2));

fs = @(f,x,n,q) a(f,x,0,q)/2 + ...

symsum(a(f,x,k,q)*cos(2*k*x*pi/q(3)) +

b(f,x,k,q)*sin(2*k*x*pi/q(3)),k,1,n(i));

s(i)=fs(f,x,n,q);

fs = @(f,x,n,q) a(f,x,0,q)/2 + ...

symsum(am(f,x,k,q)*cos(k*x*pi/q(3)),k,1,n(i));

w(i)=fs(f,x,n,q);

fs = @(f,x,n,q) a(f,x,0,q)/2 + ...

symsum(bm(f,x,k,q)*sin(k*x*pi/q(3)),k,1,n(i));

r(i)=fs(f,x,n,q);

end

Actividad 4

Considere la función f(t) = t/2 en el intervalo 0 ≤ t ≤ 2.

a) Calcule analíticamente (a mano) el desarrollo de f (t) en serie de Fourier de recorrido completo.

b) Calcule analíticamente (a mano) el desarrollo de f(t) en serie de Fourier demedio recorrido en cosenos.

c) Calcule analíticamente (a mano) el desarrollo de f (t) en serie de Fourier de medio recorrido en senos.

d) Utilice la función MiSerieFourier mediante un archivo tipo script para obtener las funciones correspondientes a las sumas parciales con n = 3, 5 y 20 de los tres apartados anteriores de esta actividad. No muestre los resultados de la corrida del script en el reporte. Únicamente liste el script.

e) Desarrolle código en un archivo tipo script de Matlab en el que, mediante el uso del comando str2func convierta las cadenas de texto obtenidas en el apartado anterior a funciones y a partir de ellas genere gráficas donde muestre la función f (t) en el intervalo en que está definida, y su correspondiente desarrollo en serie de Fourier con las sumas parciales correspondientes a n = 3, 5 y 20. Asegúrese de ajustar adecuadamente los límites en la ventana de graficación, de etiquetar correctamente los ejes, y de usar los identificadores adecuados para cada una de las curvas. Muestre seis periodos de la función (tres a la izquierda y tres a la derecha del origen).

Solución

a)

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

……..

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

Valor de an=0

[pic 9]

Procedimiento para calcular valor de bn

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

Valor de bn= [pic 14]

Basándonos en la formula genera, se obtendrán todos los valores para después solamente sustituirlos, por lo que también tendremos que sacar el valor de esto s logrará de la siguiente manera[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Ahora sólo sustituimos en la formula

[pic 18]

Solución

b)

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

Por lo que el resultado es = 0

Muy parecido al inciso anterior se sustituirá el valor de an  pero ahora en la siguiente formula

Medio recorrido de cosenos

[pic 27]

[pic 28]

Solución

c)

Análisis del Desarrollo de f(t)

[pic 29]

[pic 30]

Proceso para calcular bn

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

Formula de recorridos de senos

[pic 37]

El último paso ya solamente será sustituir el valor de bn en la fórmula de recorridos de senos y el resultado es el siguiente:

[pic 38]

Solución

d)

Utilizando MiSerieFourier

...