PROBLEMA DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

PROBLEMA DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Modelo para la curva de aprendizaje en forma de ecuación diferencial

dP/dt=k ( M-P)

Donde P(t) mide el desempeño de alguien que aprende una habilidad después de un tiempo de entrenamiento t, M es el nivel máximo de desempeño y k es una constante positiva.

Resolverla ecuación diferencial con el fin de hallar una expresión para P(t).

¿cuál es el límite de esta expresión?

Inicialmente definiremos que es la curva de aprendizaje para introducirnos en el tema

CURVA DE APRENDIZAJE

Una curva de aprendizaje describe el grado de éxito obtenido durante el aprendizaje en el transcurso del tiempo. Es un diagrama en que el eje horizontal representa el tiempo transcurrido y el eje vertical el número de éxitos alcanzados en ese tiempo. Mientras más empinada sea la curva, mayor es la eficiencia del aprendizaje, en este caso el mayor desempeño de alguien que desea aprender una habilidad en un tiempo determinado de entrenamiento.

dp/dt=k(m-p)

dp/((m-p) )=kdt

∫▒〖dp/((m-p))=∫▒kdt〗

u=m-p du=-dp -du=dp

∫▒〖(-du)/u=∫▒kdt〗

-Ln(u)=kt+c

(-1)(-ln⁡(m-p) )=(-1)(kt+c)

ln⁡〖(m-p)=-kt-c〗

e^(ln⁡(m-p))=e^((-kt-c))

m-p=e^((-kt-c))

p=m-e^((-kt-c))

El desempeño de alguien que aprende una habilidad está dada por nivel máximo de desempeño menos el tiempo que transcurre en el entrenamiento.

Calculando el límite

lim┬(t→∞)⁡p=m-e^((-kt)) e^((-c))

lim┬(t→∞)⁡p=lim┬(t→∞) m-lim┬(t→∞) e^((-kt)) lim┬(t→∞)⁡〖e^((-c)) 〗

lim┬(t→∞)⁡p=lim┬(t→∞) m-lim┬(t→∞) e^((-kt)) e^((-c))

lim┬(t→∞) p=m-0

lim┬(t→∞)⁡p=m

...