Potencia de numeros complejos y raíces de un numero complejo, regla de crammer

POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS 

La operación de la potenciación en los números complejos se simplifica mucho si se recurre a la representación gráfica de estos números en el plano cartesiano. Si [pic 5], se identifica a [pic 6]con el par ordenado [pic 7]y se representa como un punto en el plano cartesiano de la manera usual (ver figura de la derecha).

También puede representarse como el vector con origen en el punto [pic 10]y extremo en el punto [pic 11]. (ver figura de la izquierda)

El módulo de un número complejo se define como la longitud del vector del plano que se obtiene como su representación gráfica. Se denota: módulo de [pic 12]Si [pic 13], [pic 14]Esta representación gráfica permite obtener otra forma de determinar a un número complejo dado. Es la llamada forma trigonométrica o forma polar. Dado el número complejo [pic 15],  representado por el vector [pic 16]del plano cartesiano, se observa que ese vector queda totalmente determinado por 2 datos:

1. El ángulo [pic 18]que forma el vector con el eje de las abscisas, medido en sentido contrario a las agujas del reloj.
2. El módulo de [pic 19]

Si sólo se conoce el dato del ángulo [pic 21]que forma un número complejo con el eje de las abscisas, sólo se sabe que dicho número será alguno de los vectores que están en la semirrecta de la figura de la izquierda.

Por otra parte, si de un número complejo [pic 22], se conoce sólo el módulo, digamos [pic 23], sólo se puede asegurar que está en la circunferencia de radio [pic 24]que está centrada en el origen.

Pero si tenemos los dos datos mencionados, hay un único número complejo con esas características. Por ejemplo, si el número complejo [pic 27]forma un ángulo de [pic 28]con el eje de las abscisas y [pic 29], entonces la representación gráfica de [pic 30]es la que se muestra a la izquierda.

Como [pic 32]es un triángulo rectángulo, se sabe que:

Como [pic 34],

Por otra parte,

Así,

es decir, [pic 39]. En otras palabras, el número complejo [pic 40]tiene parte real igual a [pic 41]y parte imaginaria igual a 1:

y efectivamente,

Se observa en este ejemplo lo siguiente:

Puede escribirse entonces:

ó

Esta última es la llamada forma polar del número complejo [pic 49]. En ella quedan explícitos los datos del ángulo que forma [pic 50]con el eje de las abscisas y su módulo. En general, un número complejo en forma polar se escribe así:

donde [pic 52], [pic 53]y [pic 54]es el ángulo que forma [pic 55]con el eje de las abscisas.