Numeros Complejos

1.1 Definición y origen de los números complejos.

Numero complejo: describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i).

Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que .

Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que está compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que a = 0.

Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales, por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos

Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

 Suma

 Producto por escalar

 Multiplicación

 Igualdad

 División

Conjugado de un número complejo

Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conjugados.

El conjugado de un complejo z (denotado como ó ) es un nuevo número complejo, definido así:

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.

Con este número se cumplen las propiedades:

1.3 Potencias de la unidad imaginaria, modulo o valor absoluto de un numero complejo.

Potencias de la Unidad Imaginaria:

Modulo de un número complejo:

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

=

Se grafica asi:

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo

Veamos la representación binómica primero:

Representación binómica

Un número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama de Argand; a + bi es la expresión binomial del punto.

Un número complejo se representa en forma binomial como:

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:

Representación polar

El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand; o es la expresión polar del punto.

En esta representación, es el módulo del número complejo y el ángulo es el

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