Numeros Complejos

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

El nº complejo puede representarse geométricamente con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el plano, por el punto , con lo que se establece biyección entre los números complejos y los puntos del plano euclídeo.

Al punto se le llama afijo del complejo

Cuando el plano se utiliza para representar números complejos, se le designa por plano complejo o plano .

Al eje de las x se le llama eje real y al eje de las y se le llama eje imaginario.

La representación de los números complejos en el plano recibe el nombre de diagrama de Argand.

Al complejo se le designa así como punto o también como vector , un vector con origen el de coordenadas y extremo el punto , y cualquiera obtenido de él por traslación.

Con esta representación, la adición de complejos, puede considerarse como una suma vectorial.

Así la suma de con se corresponde con el punto , y por tanto con el vector suma de los y .

Análogamente está representado por el vector desde a .

La longitud o norma del vector es el módulo del complejo . La distancia entre los puntos y es .

El estará determinado por el punto simétrico de z, respecto al eje real. El simétrico de , respecto al eje real. El simétrico respecto al eje imaginario es .

Con esta interpretación geométrica, la desigualdad triangular y la identidad: se convierten en sencillos teoremas geométricos.

Multiplicación de números complejos en forma binómica

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.

(a + bi) • (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

( 5 + 2 i) • ( 2 − 3 i) =

=10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

Multiplicación de números complejos en forma polar

La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:

Su módulo es el producto de los módulos.

Su argumento es la suma de los argumentos.

645° • 315° = 1860°

Conjugado de un número complejo

Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.

Representando el número complejo a + bi y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - bi .

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