Numeros Complejos

Operaciones fundamentales con números complejos.

Los números complejos cumplen las reglas del álgebra ya que se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir (excepto la división por 0 + 0i). Antes de ver la suma de números complejos escribiremos en función de i diferentes expresiones:

Suma de números complejos

Para sumar dos números complejos se suma primero la parte real del primer número con la parte real del segundo. Luego se suma la parte imaginaria de primer número con la parte imaginaria del segundo. En forma de ecuación queda de la siguiente forma:

Resta de números complejos

Para restar dos números complejos hay dos formas para hacerlo. La primera es que se le resta a la parte real del primer número la parte real del segundo, luego se resta a la parte imaginaria del primer número la parte imaginaria del segundo. En forma de ecuación queda como la siguiente forma:

Multiplicación de números complejos

Para multiplicar dos números complejos se procede a multiplicar como si se tratase del productode dos binomios. Uno de los términos tendrá i2 donde i2 es equivalente a:

División

La división de números complejos requiere un mayor trabajo que la multiplicación y

partimos de un artificio previo, basado en que el producto de un numero complejo por

su conjugado da como resultado un número real:

si la división de dos números complejos, la multiplicamos y dividimos por el conjugado

del denominador:

ENCONTRAR RAICES DE NUMEROS COMPLEJOS POR MEDIO DEL TEOREMA DE DE MOIVRE

El Teorema de De Moivre dice que cuando se eleva a la n un número complejo en forma Exponencial se obtiene una ecuación que recibe el nombre de Fórmula de De Moivre.

Sea Z=re^iθ. Entonces

Z^n=(re^iθ )^n=r^n (e^iθ )^n=r^n e^inθ=r^n (cos nθ+isen nθ)

Fórmula de De Moivre 〖r^n (cos θ+isen θ)〗^n=r^n (cos nθ+isen nθ)

Potencias de un número complejo en forma Polar.

1. Calcule 〖Z_1〗^8 ya se vió que:

Z_1=3+3i=3√2 (cos〖45〗^0+isen〖45〗^0 )=3√2 (cos π/4+isen π/4)

〖Z_1〗^8=(3+3i)^8=[3√2 (cos〖45〗^0+isen〖45〗^0 )]^8=[3√2 (cos π/4+isen π/4)]^8

Resolvamos primero en grados y luego en radianes usando la Fórmula de De Moivre

〖r^n (cos θ+isen θ)〗^n=r^n (cos nθ+isen nθ)

〖〖Z_1〗^8=[3√2 (cos〖45〗^0+isen〖45〗^0 )]〗^8=〖(3√2)^8 [(cos〖45〗^0+isen〖45〗^0 )]〗^8

〖Z_1〗^8=(3)^8 (√2)^8 [cos(8〖∙45〗^0 )+isen(8〖∙45〗^0 )]=(6,561)(16)(cos〖360〗^0+〖isen360〗^0 )

Con la calculadora en DEG ó D se calcula cos〖360〗^0

1. 〖Z_1〗^8=104,976(cos〖360〗^0+〖isen360〗^0 )=104,976(1+0)=▭104,976

〖〖Z_1〗^8=[3√2 (cos π/4+isen π/4)]〗^8=〖(3√2)^8 [(cos π/4+isen π/4)]〗^8

〖Z_1〗^8=(3)^8 (√2)^8 [cos(8∙π/4)+isen(8∙π/4)]=(6,561)(16)(cos2π+isen2π)

Con la calculadora en RAD ó R se calcula cos2π

1. 〖Z_1〗^8=104,976(cos2π+isen2π)=104,976(1+0)=▭104,976

2. Demuestre que si Z_2=-1+√3 i

〖〖2. Z〗_2〗^11=▭(-1,024-1,024(√3)i)

3. Calcule 〖Z_3〗^15 ya se vió que

Z_3=-1/2 √3-1/2 i =1(cos〖210〗^0+isen〖210〗^0 )=1(cos 7π/6+isen 7π/6)

〖Z_3〗^15=(-1/2 √3-1/2 i)^15=[1(cos〖210〗^0+isen〖210〗^0 )]^15=[1(cos 7π/6+isen 7π/6)]^15

Resolvamos primero en grados y luego en radianes usando la Fórmula de De Moivre

〖r^n (cos θ+isen θ)〗^n=r^n (cos nθ+isen nθ)

〖〖Z_3〗^15=[-1/2 √3-1/2 i]〗^15=〖(1)^15 [(cos〖210〗^0+isen〖210〗^0 )]〗^15

〖Z_3〗^15=1[cos(15〖∙210〗^0 )+isen(15〖∙210〗^0 )]=1(cos〖3,150〗^0+〖isen3,150〗^0 )

Con la calculadora en DEG ó D se calcula cos〖3,150〗^0

〖3. Z_3〗^15=1(cos〖3,150〗^0+〖isen3,150〗^0 )=1(0-i)=▭(-i)

〖〖Z_3〗^15=[1(cos 7π/6+isen 7π/6)]〗^15=〖(1)^15 [(cos 7π/6+isen 7π/6)]〗^15

〖Z_3〗^15=1[cos(15∙7π/6)+isen(15∙7π/6)]=1(cos 105π/6+isen 105π/6)=1(cos 35π/2+isen 35π/2)

Raíces de un número complejo en forma Polar.

Si k es un entero con valores sucesivos k=0,1,2,3,… ,n-1,

cos θ=cos (θ+k〖∙360〗^0 ) y sen θ=sen (θ+k〖∙360〗^0 )

Luego (x+yi)^(1⁄n)=[r(cos θ+isen θ)]^(1⁄n) ó √(n&x+yi)=√(n&r(cosθ+isenθ))

(x+yi)^(1⁄n)={r[cos (θ+k〖∙360〗^0 )+isen (θ+k〖∙360〗^0 )]}^(1⁄n)

(x+yi)^(1⁄n)=▭(r^(1⁄n) [cos ((θ+k〖∙360〗^0)/n)+isen ((θ+k〖∙360〗^0)/n)] )

En el caso de radianes se tiene lo siguiente para 〖 360〗^0=2π

(x+yi)^(1⁄n)={r[cos (θ+k∙2π)+isen (θ+k∙2π)]}^(1⁄n)

(x+yi)^(1⁄n)=▭(r^(1⁄n) [cos ((θ+k∙2π)/n)+isen ((θ+k∙2π)/n)] )

Las ecuaciones en letras negritas nos indican que un número cualquiera tanto real como complejo, tiene n raíces enésimas distintas, donde la primera raíz será para k=0, la segunda raíz será para k=1, la tercera raíz será para k=2, y así hasta llegar a la raíz n que será para k=n-1.

Aunque todas las operaciones con números complejos son importantes es necesario que la solución de raíces con números complejos quede bien comprendida, ya que al resolver ecuaciones polinómicas con números complejos se tendrá que resolver raíces. Es debido a esto que antes de resolver una raíz con números complejos vamos a desarrollar las ecuaciones para raíz cuadrada, para raíz cúbica y para raíz cuarta.

Raíz cuadrada de un número complejo.

Se resuelven dos raíces Z_1 y Z_2 pero ya hemos usado Z_1 y Z_2 como los dos primeros números complejos para pasar de forma binómica a forma Polar, por lo cual usaremos en lugar de Z_1 y Z_2, para las dos raíces; Z_((1) ) y Z_((2) ).

(x+yi)^(1⁄2)=√(2&x+yi)=√(2&r(cosθ+isenθ))=√(x+yi)=√(r(cosθ+isenθ))

〖(x+yi)^(1⁄2)=r〗^(1⁄2) [cos ((θ+k〖∙360〗^0)/2)+isen ((θ+k〖∙360〗^0)/2)]

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