Numeros Complejos

Son una extensión de los números reales, cumpliéndose que, los números complejos tienen la capacidad

de representar todas las raíces de los polinomios cosa que con los reales no era posible.

¿En que consisten los números complejos?

Cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

Suma

Multiplicación

Igualdad

Al primer componente (que llamaremos a) se la llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que a = 0 .

Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

¿Como se originan los números complejos?

El gran matemático Diofanto (275 d.C.) construyó un triángulo con una cuerda en la que había realizado 12 nudos (equidistantes). Los lados medían 3, 4 y 5 unidades.

Evidentemente el triángulo es rectángulo, cumple el teorema de Pitágoras:

32  42  52

Al ser un triángulo rectángulo es fácil comprobar que el área es 6 unidades.

Con la misma cuerda trató de construir otro triángulo rectángulo de forma que su área fuese 7 unidades.

Su planteamiento fue el siguiente:

un cateto mediría x

como el área debía ser 7, el otro cateto será 14/x.

la hipotenusa debe cumplir el teorema de Pitágoras

pero por otra parte la suma de sus lados debe ser 12

Por tanto se debe cumplir la ecuación:

De donde se llega fácilmente a:

Cuya solución Diofanto expresó como

Pero no conocía ningún número que elevado al cuadrado fuese igual a –1, por tanto, el problema no tenía solución.

Este problema planteado por Diofanto tardaría siglos en resolverse.

En el siglo XVI Rafaello Bombelli fue uno de los primeros en admitir que era útil que los números negativos tuviesen raíces cuadradas.

A mediados del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano Gerolamo Cardano y sus contemporáneos comenzaron a experimentar con soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar como

En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler (1707 - 1783) simbolizó la raíz cuadrada de –1 con la letra i (por imaginario).

Euler

Kaspar Wessel dio una explicación a la raíz cuadrada de –1.

Basta suponer un triángulo ABC isósceles en A, situado sobre unos ejes de coordenadas. Aplicando el teorema de la altura

Esta idea también sugerida por Jean-Robert Argand fue utilizada más tarde por Carl Friedrich Gauss para dar la interpretación geométrica de los números complejos.

Gauss, en su tesis doctoral de 1799, demostró su famoso teorema fundamental del álgebra, que dice que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.

Gauss

En 1825, continuando con el estudio de las funciones complejas, el matemático francés Augustin L. Cauchy generalizó el concepto de integrales definidas de funciones reales para funciones de variable compleja.

¿Cuáles son sus axiomas, si los hay?

(pero no existen los axiomas de cuerpo ordenado)

¿Operaciones con los números complejos?

Suma

Resta

Multiplicación

División

exponentes

Suma

Para sumar números complejos, se siguen las normas básicas de la aritmética, sumando los reales con los reales y los imaginarios con los imaginarios realmente transversales:

Ejemplo de la suma:

Resta

Aunque se opera de la misma manera que en la suma hay que aclarar que se resta la parte real y la parte imaginaria por separado.

Junto con la suma y la resta, como hay 4 términos y cada uno puede tener signo + o -, pueden darse 16 casos.

Que como vemos, simplifica de una manera considerable el uso de signos que nos podrían llevar a un error durante el cálculo.

Multiplicación

Para multiplicar dos números complejos, se multiplica cada término del primero por los dos del segundo, con lo que obtenemos 4 términos:

Obsérvese que el término bdi2 pasa a ser − bd. Eso es porque i2 = − 1. Ejemplo:

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