Numeros Complejos

UNIDAD 1.- NÚMEROS COMPLEJOS

1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Historia de los números complejos

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.

Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

Definición de número complejo

Los números complejos z se pueden definir como pares ordenados

z = (x, y)

de números reales x e y, con las operaciones de suma y producto que especificaremos más adelante. Se suelen identificar los pares (x, 0) con los números reales x.

El conjunto de los números complejos contiene, por tanto, a los números reales como subconjunto. Los números complejos de la forma (0, y) se llaman números imaginarios puros. Los números reales x e y en la expresión [1] se conocen, respectivamente, como parte real y parte imaginaria de z. Escribiremos:

Re z = x, Im z = y [2]

Dos números complejos (x1, y1) y (x2, y2) se dicen iguales si tienen iguales las partes real y imaginaria. Es decir:

(x1, y1) = (x2, y2) si y sólo si x1= x2 e y1 = y2 [3]

La suma z1 + z2 y el producto z1z2 de dos números complejos z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2) se definen por las ecuaciones:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) [4]

(x1, y1) (x2, y2) = (x1x2 - y1 y2 + x1, y2) [5]

En particular, (x, 0) + (0, y) = (x, y) y (0, 1)(y, 0) = (0, y); luego

(x, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0). [6]

Nótese que las operaciones definidas por las ecuaciones [4] y [5] son las usuales cuando se restringen a los números reales:

(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0),

(x1, 0)(x2, 0) = (x1x2, 0).

El sistema de los números complejos es, en consecuencia, una extensión natural del de los números reales.

Pensando en un número real como x o como (x, 0), y denotando por i el número imaginario puro (0, 1), podemos reescribir la Ecuación [6] asi*

(x, y) = x + iy. [7]

Asimismo, con el convenio z2 = zz, z3 = zz2, etc., hallamos que

i2 = (0,1)(0,1) = (-1, 0);

es decir,

i2 = -1

A la vista de la expresión [7], las Ecuaciones [6] y [7] se convierten en

(x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2), [8]

(x1 + iy1)(x2 + iy2) = (x1x2 - y1y2) + i(y1x2 + x1y2), [9]

Obsérvese que los miembros de la derecha en esas ecuaciones se pueden obtener formalmente manipulando los términos de la izquierda como si

Sólo contuvieran números reales, y sustituyendo i2 por -1 cuando aparezca.

1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS

Propiedades de los números complejos

Varias propiedades de la suma y del producto de números complejos coinciden con las de los números reales. Recogeremos aquí las más básicas y verificamos algunas de ellas.

Las leyes conmutativas

z1 + z2= z2 + z1, z1z2 = z2z1 ; [1]

y las asociativas

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3), (z1z2)z3 = z1(z2z3) [2]

se siguen fácilmente de las definiciones de la suma y el producto de números complejos, y del hecho de que los números reales las satisfacen. Por ejemplo, si

z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2),

entonces

z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1) = (x2, y2) + (x1, y1) = z2 + z1

La verificación de las restantes, así como de la ley distributiva

z(z1 + z2) = zz1 + zz2, [3]

es similar.

De acuerdo con la ley conmutativa del producto, iy = yi; luego está permitido escribir

z = x + iy o z = x + yi

Además, por las leyes asociativas, una suma z1 + z2 + z3 o un producto

z1z2z3 están bien definidos sin paréntesis, igual que ocurría con los números reales.

La identidad aditiva 0 = (0, 0) y la identidad multiplicativa 1 = (1, 0) de los números reales se transfieren al sistema de los números complejos. O sea,

z + 0 = z y z * 1 = z [4]

para todo número complejo z. Más aún, 0 y 1 son los únicos números complejos con tales propiedades. Para establecer la unicidad de 0, supongamos que (u, v) es una identidad aditiva, y escribamos

(x, y) + (u, v) = (x, y),

donde (x, y) es cualquier número complejo. Se deduce que

x + u = x e y + v = y;

o sea, u = 0 y v = 0. El número complejo 0 = (0, 0) es, por tanto, la única identidad aditiva.

Cada número complejo z = (x, y) tiene asociado un inverso aditivo

-z = (-x, -y) [5]

que satisface la ecuación z + (-z) = 0. Además, hay un sólo inverso aditivo para cada z, pues la ecuación (x, y) + (u, v) = (0,0) implica que u = -x y v = -y.

Los inversos aditivos se usan para definir la resta:

z1 - z2 = z1 + (-z2).

Luego si z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2), entonces

z1 - z2 = (x1 - x2, y1 - y2) = (x1 - x2) + i(y1 - y2).

Análogamente, para todo número complejo z = (x, y) no

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