Puntos Criticos, Intervalos E Inflexión De Una Función

Teniendo la función , entonces

• Hallar los puntos críticos

• Intervalos de crecimiento y decrecimiento

• Hallar los puntos de inflexión

1º) Hallo los puntos críticos:

Para hallar los puntos críticos lo primero es aplicar la primera derivada, así:

Teniendo la primera derivada, igualo a cero y esta convirtiéndola en una ecuación, en este caso ecuación de tercer grado, por lo tanto, tendrá 3 valores para X, así:

Aplico Factor común:

Despejo la primera variable con coeficiente 4x, igualando a cero ( ), así:

, El primer valor de X es cero

Luego despejo la que esta como minuendo de 1, que quedó como cociente al aplicar factor común (cociente diferencia indicado), es decir esto:

Igualo a cero a , así:

Agrupo:

Reduzco aritméticamente, es decir al extremo derecho:

Transpongo cuadrado para despejar X:

Resuelvo raíz y queda como resultado o raíces: , es decir y

 Para probar que los valores de X fueron despejados correctamente, es decir, que estos satisfacen los requerimientos de la igualdad, pruebo reemplazando a X en la primer derivada, así:

• Para

Resuelvo operaciones indicadas:

• Para

La prueba demuestra que los valores encontrados para X si satisfacen la ecuación

 Teniendo ya los valores de X, que se podrían entender al intervalizar en la recta numérica como puntos críticos, para hallar Y, reemplazamos los valores de X en la función inicial o primitiva así:

 Nota: Para X solo existe en este caso dos valores, ya que se derivó y al hacerlo se disminuye un grado; por ende, para Y también

Teniendo tanto los valores de X como de Y. entonces procedo a formar los puntos críticos:

, y

 Para conocer los extremos relativos, aplicamos el criterio de l asegunda derivada, teniendo la función: y los siguientes razonamientos:

• Si

• Si

Basado en este criterio evalúo los valores de X en la segunda derivada y según los resultados clasifico los puntos en máximos y mínimos:







 Para hallar punto de inflexión igualo a cero la segunda derivada:

Factorizo (CASO I)

Despejo X igualando y transponiendo cuadrado:

• Para hallar valores de Y:

Los puntos de inflexión:

Para los intervalos de concavidad solo ubico los valores de X en la recta real, tanto los de los puntos críticos como los de los puntos de inflexión…

La regla dice que:

Si f ' (x) < 0 es decreciente

...