Puntos Criticos, Intervalos De Crecimiento Y Decrecimiento, Puntos De Inflexión, Concavidad

Dada la siguiente función:

Responder:

Preguntas

¿Cuáles son los Puntos críticos?

Para hallar los puntos de críticos derivamos la función e igualamos a 0:

y=〖4x〗^4-4x^2

y'=〖16x〗^3-8x

0=〖8x(2x〗^2-1)

0=〖8x 2x〗^2-1=0

x=〖0/8 2x〗^2=1

x=〖0 x〗^2=1/2

x=0 x=±√(1/2)

x_1=0 x_2=√(1/2) x_3=-√(1/2)

f(0)=〖4(0)〗^4-4(0)^2=0-0=0

f(√(1/2))=〖4(√(1/2))〗^4-4(√(1/2))^2=4(〖1/2)〗^2-4(1/2)=4(1/4)-2=1-2=-1

f(-√(1/2))=〖4(-√(1/2))〗^4-4(-√(1/2))^2=4(〖1/2)〗^2-4(1/2)=4(1/4)-2 = 1 – 2 = -1

Los puntos críticos son (-√(1/2,)-1) , (0,0) (√(1/2,)-1)

¿Cuáles son los Intervalos de crecimiento y decrecimiento?

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se dan de la siguiente manera

(-∞, √(1/2) ) la función es decreciente

(-√(1/2) ,0 ) la función es creciente

( 0,√(1/2)) la función es decreciente

(√(1/2,∞)) la función es creciente

Hallar los Puntos de inflexión

y''=〖48x〗^2-8

0=8(6x^2-1)

0=6x^2-1

〖6x〗^2=1

x^2=1/6

x=±√(1/6)

x_1=-√(1/6) x_1=√(1/6)

f(√(1/6))=〖48(√(1/6))〗^2-8=48(1/6)-8=8-8=0

f(-√(1/6))=〖48(-√(1/6))〗^2-8=48(1/6)-8=8-8=0

Los puntos de inflexión son: (-√(1/6,) 0) (√(1/6,) 0)

4. ¿Cuáles son los Intervalos de concavidad?

(-∞-√(1/6,)) la función es convexa

(-√(1/6,) √(1/6)) la función es cóncava

(√(1/6,) ∞) la función es convexa

5. Hacer un bosquejo de la gráfica mostrando la información encontrada en los ítems del 1al 4.

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