Concavidad y Punto de Inflexion y Teorema del valor medio de Lagrange

Concavidad y punto de inflexión

Otra característica de una función que ayuda a conocer su comportamiento es la concavidad, pero ¿Qué significa la concavidad?

El diccionario de la Real Academia Española (2010) dice que:

‘‘Cóncavo: Dicho de una curva o de una superficie que se asemeja al interior de una circunferencia o esfera’’

En el análisis de una función, la concavidad indica hacia donde “abre” la gráfica de la función, de esta forma utilizaremos los términos cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo como se indica a continuación:

        [pic 2]                [pic 3][pic 4]

Para ejemplificar este concepto usemos la función  cuya grafica es:[pic 5]

[pic 6]

En la gráfica se ha señalado cierta porción, esta se comporta con una concavidad hacia abajo y en otra sección con concavidad hacia arriba, pero:

¿En que punto exactamente ocurre este cambio?, ¿matemáticamente cómo se puede determinar el intervalo de concavidad?

La concavidad de la gráfica de una función puede definirse mediante la primera derivada de la siguiente manera:

-Sea  diferenciable en  [pic 7][pic 8]

1) Si   una función creciente en entonces la gráfica de  es cóncava hacia arriba en el intervalo.[pic 9][pic 10][pic 11]

2) Si   una función decreciente en entonces la gráfica de  es cóncava hacia abajo en el intervalo.[pic 12][pic 13][pic 14]

Para determinar los intervalos de concavidad de una función utilizamos el

siguiente criterio:

La gráfica de una función es[pic 15]

a) cóncava hacia arriba en todos los intervalos para los que .[pic 16]

b) cóncava hacia abajo en todos los intervalos para los que .[pic 17]

Reuniendo este criterio con el de determinación de intervalos de crecimiento

de f, podemos también en establecer la siguiente regla:

a) En los intervalos donde  sea creciente,  será cóncava hacia[pic 18][pic 19]

arriba.

b) En los intervalos donde  sea decreciente,   será cóncava hacia[pic 20][pic 21]

abajo.

Se llaman puntos de inflexión los puntos en donde cambia la concavidad de

una función, ya sea de arriba hacia abajo, o viceversa. Para ello, si la función

posee derivadas de segundo orden, un punto  del dominio de  será punto[pic 22][pic 23]

de inflexión si  y ocurre alguna de las siguientes situaciones:[pic 24]

a) existe un intervalo ) en donde y otro intervalo[pic 25][pic 26]

) en donde .[pic 27][pic 28]

b) existe un intervalo ) en donde y otro intervalo[pic 29][pic 30]

) en donde .[pic 31][pic 32]

Ejemplo

En un rio que tiene la siguiente forma:

[pic 33][pic 34][pic 35]

Se pretende construir un puente para que las personas puedan pasar, pero para que la corriente no lo afecte se decidió construirlo en donde “cambia su forma”.

Determina la concavidad y el punto de inflexión, si existe de la función:

[pic 36]

Paso 1 Calcula la primera y segunda derivada de la función.

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

Paso 2 Identifica si no existe para algún valor o iguala con cero.

[pic 40]

Paso 3 Resuelve la ecuación.

[pic 41]

[pic 42]

Paso 4 Genera intervalos utilizando el valor o valores críticos.

[pic 43]

Paso 5 Elije un numero cualquiera que pertenezca al intervalo.

[pic 44]

Paso 6 Sustituye los valores elegidos en el paso 5 e la segunda derivada y observando el signo de esta.

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

Paso 7 Interpreta los resultados con base en criterio de concavidad.

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