Continuidad. Teorema del valor intermedio

Continuidad. Teorema del valor intermedio.

Para cada una de las siguientes funciones, determinar si la función es o no continua en el número  dado. Si es discontinua, explicar si la discontinuidad es removible o irremovible:[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

La discontinuidad es removible, porque existe el límite. La función se puede redefinir para que sea continua de la siguiente manera:

[pic 4]

B. Determinar los valores de  en los cuales cada función es discontinua. En cada caso explicar si la discontinuidad es removible o irremovible:[pic 5]

[pic 6]

1. Discontinuidad irremovible en x=1 (límites laterales diferentes, “salto”), y discontinuidad removible en x=4.

2. Discontinuidades irremovibles en x=-2 (asíntota vertical) x= 0 (límites laterales diferentes, “salto”) y en x=4 (asíntota vertical). En x=2 hay discontinuidad removible.

Analizar 3 y 4.

C. En los siguientes ejercicios, encontrar la constante  , o las constantes a y b, tales que la función sea continua en toda la recta real.[pic 7]

[pic 8]

1. Se analizan las tres condiciones:

[pic 9]

[pic 10]

Para que el límite exista:

[pic 11]

Con este valor de  se cumple (iii)  y así la función es continua.[pic 12][pic 13]

[pic 14]

D. En los siguientes ejercicios, utilizar el teorema del valor intermedio para explicar por qué cada función tiene un cero en el intervalo dado. Hallar el valor de “c” o aplicar tres iteraciones para estimar una aproximación de “c” tal que .[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

E. En los siguientes ejercicios verificar que el teorema del valor intermedio es aplicable al intervalo indicado y encontrar el valor de c garantizado por el teorema.

[pic 18]

Para el ejercicio 4:  es continua en , dado que solo es discontinua en . Por otra parte:[pic 19][pic 20][pic 21]

[pic 22]

Así, existe  tal que [pic 23][pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

Material con fines educativos basado en los textos: Larson, R. Edwards, B. (2010) Cálculo Tomo I. Novena edición. Editorial Mc. Graw Hill.

Tan, S.T (2010). Matemáticas Aplicadas a los Negocios, las Ciencias Sociales y de la Vida. Quinta Edición. Cengage.

Stewart, J. (2012) Cálculo de una variable Trascendentes tempranas. Ed 7. Cengage.

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