MATEMATICAS

Act 5: Lección evaluativa No. 1

Página 02: Ecuaciones de Primer grado con una Incógnita

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son de la forma ax + b = c, siendo a, b y c las constantes y x la variable. El valor de a puede ser entero, racional o real, pero nunca cero.

Ejemplos de este tipo de ecuaciones: 3x – 5 = 0 que corresponde a una ecuación de coeficiente entero y expresión entera.

Las ecuaciones de primer grado se caracterizan porque a incógnita (variable) tiene como exponente la unidad; por lo cual, la solución es única, esto quiere decir que éste tipo de ecuaciones tienen “Una Sola solución”.

Resolución: Las ecuaciones de primer grado con una incógnita, se pueden resolver por diversos métodos, se analizarán algunos, siendo el método axiomático el más recomendado.

METODO EGIPCIO: Conocido también como la Regula Falsa. En algunos libros egipcios y chinos, se ha encontrado un método para resolver ecuaciones llamado Regula Falsa o Falsa Posición. El método consiste que a partir de la ecuación dada, se propone una solución tentativa inicial, la cual se va ajustando hasta obtener la solución más aproximada.

El principio es que dada la ecuación, ax = b suponemos una solución tentativa xo, reemplazando en la ecuación así: axo= b, como no se cumple esta solución, se hace un ajuste de la siguiente manera: x1 = b/bo xola cual es una solución de la ecuación original, ya que: a [ b/bo xo ] = b Siendo b0 el valor obtenido para xo.

Ejemplo 1:

Resolver la ecuación: x + x / 4 = 12

Solución:

Proponemos como Xo = 4, luego: 4 + 4/4 = 12; 5 = 12 lo cual NO es cierto. Se hace el ajuste así: x1 = 12/5 ahora 12.4 /5 = 48/5 Esta es la solución.

METODO AXIOMATICO: Es el método más utilizado en la actualidad, el cual utiliza las propiedades algebraicas y las leyes de uniformidad, todo esto derivado de los axiomas de cuerpo. Aclaremos que los axiomas epistemológicamente son “Verdades Evidentes” y a partir de éstas, se desarrolla todo el conocimiento.

Ejemplo 2:

Hallar la solución de la ecuación: 6 – x = 2x + 9

Solución:

Para solucionar esta ecuación seguiremos los siguientes pasos.

- La incógnita se organiza al lado derecho y las constantes al lado izquierdo, recuerde que al transponer términos de un lado a otro del signo = estos cambian.

– x – 2x = 9 – 6

- Efectuamos las operaciones a los dos lados de la igualdad

– 3x = 3

- Finalmente aplicamos el recíproco de 3 para que la incógnita quede completamente despejada.

- 3x (-1/3) = 3 (-1/3)

Operando se obtiene la solución de la ecuación propuesta.

x = - 1

Si reemplazamos el valor de x en la ecuación original, se debe obtener una igualdad.

6 - x = 2x + 9 ; 6 - (-1) = 2 (-1) + 9 : 7 = 7

La solución de la ecuación es:

2

7

6

4

La respuesta es 4

Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. ¿Cuánto mide el lado duplicado del cuadrado ?

2 metros

6 metros

12 metros

10 metros

La respuesta es 4

Es todo sistema de la forma:

a1x1 + b1y1 = c1

a2x2 + b2y2 = c2

Donde a1, a2, b1, b2, c1 y c2 son constantes; además a1 ≠ 0 ó b1 ≠ 0, al igual que a2 ≠ 0 ó b2 ≠ 0

Los Métodos más utilizados para resolver este tipo de ecuaciones son:

1. Método de Igualación

2. Método de Sustitución

3.Método de Reducción

4. Método de Determinantes

1. Método de Igualación: Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma incógnita, igualarlas y tener una ecuación con 1 sola incógnita.

2. Método de Sustitución: De una de las ecuaciones se despeja una de las incógnitas en función de la otra y el resultado se sustituye en la otra ecuación, obteniéndose una ecuación con una incógnita. El valor obtenido de esta ecuación se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema para obtener el valor de la otra incógnita.

3. Método de Reducción: Consiste en eliminar una incógnita combinando las dos ecuaciones, tratando que el coeficiente de la incógnita a eliminar sea el mismo y de signo contrario.

4. Determinantes: Para resolver dos ecuaciones con dos incógnitas, KRAMER propuso una técnica que podemos resumir así:

Calcular los valores de las incógnitas del siguiente sistema de ecuaciones:

x = - 42/3 y = 29/3

x = - 4 y = 5

x = 5 y = 4

x = 41/5 y = - 24/5

La respuesta es 41\5 y=24/5

Un remolcador se desplaza a 12 millas por hora a favor de la corriente y a 9 millas por hora en contra de la corriente. ¿Qué velocidad tiene la corriente?

21 millas por hora

10.5 millas por hora

1.5 millas por hora

3 millas por

La 3

Es todo sistema de la forma:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Donde a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3, d1, d2, d3

Los Métodos más utilizados para resolver este tipo de ecuaciones son:

1. Método de Eliminación

2. Método de Determinantes

1. Eliminación: En el siguiente esquema se sintetiza este método.

Primero.

Segundo.

2. Determinantes: Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas por determinantes, KRAMER, propuso una metodología que ilustramos a continuación.

Finalmente se soluciona para cada incógnita.

Calcular el valor de las incógnitas del siguiente sistema de ecuaciones:

x = 4, y = -2, z = 1

x = 1, y = 2, z = 3

x = 1, y = 3, z = - 2

x = - 1, y = 3, z = 5

La 2

Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres (H), mujeres (M) y niños (N). Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. ¿Cuántos

...