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Sistema Homogéneo de Ecuaciones Lineales:

El un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo este sistema solo admite la solución trivial: x1 = x2 =… xn = 0.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas a la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el número de incógnitas, o dicho de otra forma que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.

Como todo sistema homogéneo es compatible con el vector cero por eso se llama solución trivial, para un sistema homogéneo de ecuaciones lineales hay dos posibilidades llamadas solución trivial o solución cero

1. Puede ser compatible determinando, esto es, tener solamente una solución la trivial

2. Puede ser compatible indeterminando, esto es, tener por lo menos una solución no trivial

Un sistema Homogéneo de ecuaciones lineales tiene un número infinito de soluciones si n>m mayor número de ecuaciones

Lo podemos representar con un ejemplo:

Ejemplos:

La matriz ampliada del sistema es

[a  b  ¦ 0]

[c  d  ¦ 0]

Escalonamos, realizando la siguiente operación elemental sobre la fila 2

F₂' = a•F₂ - c•F₁

Queda

[a    b    ¦ 0]

[0  ad-bc  ¦ 0]

Suponiendo a ≠ 0, los rangos de la matriz de coeficientes A y de la matriz ampliada M, dependen del valor de ad-bc

Ejemplo 2:

2x + 2y + 6z = 10

2x - y + 4z = 11

.....- y + z = 3

matriz ampliada

[2 . 2 6 ¦ 10 ]

[ 2 -1 4 ¦ 11 ]

[ 0 -1 1 ¦ . 3 ]

por operaciones elementales

[ 1 1. 3 ¦ 5 ]

[ 0 1 -1 ¦ -5 ]

[ 0 0. 1 ¦8/5 |

rango de la matriz ampliada= 3

luego

rango de la matriz ampliada = 3 = número de incógnitas

hay solución única.

Ejemplo 3:

6x + 4y + 2z = 2

5x + 3y + 3z = 2

7x + 4y + 5z = 3

Aplicas operaciones elementales

[ 1 . 1 . -1 . ¦ 0 ]

[ 0 . 1 . -4 . ¦ -1]

[ 0 . 0 . 0 . ¦ 0 ]

rango matriz ampliada = 2<3 número de incógnitas

hay infinitas soluciones que dependen de 3-2=1 parámetro(variable libre)

el sistema quería

x + y - z = 0

y - 4z = -1

se puede escoger z=t

así tenemos en la 2da ecuación

y - 4t = -1

y = 4t-1

reemplaza esos valores de "y" , "z" en

la 1era ecuación

x + 4t-1 - t = 0

x = -3t - 1

las infinitas soluciones:

...