Sistemas E Investigacion De Operaciones

Resultados

En el EJERCICIO 1 el 100% de los alumnos construye el árbol genealógico de una abeja macho, indicando la cantidad de padres, abuelos, bisabuelos, tatarabuelos y choznos. El 100% escribe la sucesión, aunque un 30% afirma que “va aumentando de una forma no regular” pero no encuentran la ley de formación. Un 25% obtiene la ley de formación que expresa con palabras.

El 100% de los alumnos construye el árbol genealógico de una abeja hembra. El 100% escribe la sucesión. Cuando se les pregunta si hay similitudes entre ambas sucesiones, un 20% afirma que ambas son crecientes, 2 alumnos dicen que “la similitud es que la hembra tiene la cantidad siguiente al macho”, 1 alumno afirma que “la segunda es mayor que la primera”.

El 100% de los alumnos arma el árbol genealógico propio, un 10 % lo hace con los nombres de los familiares. El 30% escribe la sucesión de las potencias de 2, otro 30% lo expresa con palabras. Al intentar dar una fórmula para el término general un 15% escribe “ 2 . x ”.

Solamente dos alumnos intentan dar una fórmula para el término general de la sucesión de Fibonacci y escriben “ x + ( x + 1 ) ”.

En el EJERCICIO 2 les resultó complicado empezar a construir los cuadrados ya que no se daban cuenta de cómo disponerlos. Una vez que los ubicaron, se dieron cuenta que tenían que cambiar la disposición para poder construir la espiral.

Un 35% no supo justificar por que se los llama rectángulos de Fibonacci, un 65% afirmó que era porque “sus lados coinciden con los términos de la sucesión“. Algunos dicen que “es una sucesión de cuadrados”. El 100% construye la espiral aunque un porcentaje reducido (5%) confunden la diagonal del cuadrado con un cuarto de circunferencia.

En el EJERCICIO 3 no tienen dificultad para escribir los términos de la sucesión ni en el reconocimiento de los múltiplos. Asimismo, saben ubicar el lugar que ocupan en la sucesión y reconocen la regularidad que verifican.

Algunos toman la sucesión { 1, 2, 3, 5, 8, .....} en este caso la regularidad la observan a partir del primer múltiplo que encuentran.

En cambio los que consideran la sucesión { 1, 1, 3, 5, 8, .....} afirman que los pares están en los lugares múltiplos de 3, los múltiplos de 3 en los lugares múltiplos de 4, etc. En este caso resulta más directa la relación de los múltiplos con el lugar que ocupan.

Cuándo se les pregunta “¿Por qué se eligieron los múltiplos de 2, 3, 5, 8, .....?”, en su mayoría responden porque presentan alguna regularidad “van de 3 en 3”, “van de 6 en 6”, pero muy pocos los relacionan con los términos de la sucesión de Fibonacci.

Cuando se les pregunta “¿Qué sucede con los números que no son términos de la sucesión de Fibonacci?”, afirman que hay múltiplos de 4, de 6 , de 7, etc., pero no cumplen ninguna regularidad.

Conclusiones

Según L. A. Santaló (1993), lograr interesar al alumno en los problemas y métodos de la matemática es el primer objetivo de su enseñanza. Por otra parte, sostiene Santaló, si bien hay que enseñar a razonar correctamente, ello debe hacerse sobre la base de ejemplos no evidentes.

Leopoldo Varela (1996) manifiesta que es conveniente que cada aprendizaje se vaya completando y perfeccionando a través de sucesivas aproximaciones, cada vez más profundas, desde distintas perspectivas y en distintas oportunidades, en la medida en que el desarrollo intelectual del alumno lo permita.

Alentadas por el pensamiento de estos próceres de la matemática, intentamos transitar distintos campos conceptuales a través de la sucesión de Fibonacci, dada la "magia" y la riqueza de estos números.

Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos indios tales como Pingala (200 a.c.), Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era fn + 1, que produce explícitamente los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.[1]

La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".[2]

Dicho de otra forma, sirve para conocer el número de conejos (parejas de conejos) que habrá en 12 meses, si estos se reproducen continuamente y cada pareja de conejos produce una nueva pareja de conejos (un macho y una hembra). Cada conejo se puede cruzar a la edad de un mes, siendo su periodo de gestación un mes. Siendo así, se tiene que:

Número de Mes Explicación de la genealogía Parejas de conejos totales

Fin del mes 0 0 conejos vivos. 0 parejas en total.

Comienzo del mes 1 Nace una pareja de conejos (pareja A). 1 pareja en total.

Fin del mes 1 La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A. 1+0=1 pareja en total.

Fin del mes 2 La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A. 1+1=2 parejas en total.

Fin del mes 3 La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B. 2+1=3 parejas en total.

Fin del mes 4 Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C. 3+2=5 parejas en total.

Fin del mes 5 A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E. 5+3=8 parejas en total.

Fin del mes 6 A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H. 8+5=13 parejas en total.

... ... ...

Fin del mes 12 ... ...

Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.

De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.[3]

También Kepler describió los números de Fibonacci,

...