ANÁLISIS DE FIABILIDAD Y SEGURIDAD DE PRODUCTOS INDUSTRIALES; nociones de MAntenimiento

ANÁLISIS DE FIABILIDAD Y SEGURIDAD DE PRODUCTOS INDUSTRIALES; nociones de MAntenimiento

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APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

INTRODUCCIÓN

        A la hora de averiguar la evolución de la calidad de un elemento cualquiera, así como de su fiabilidad, nos encontramos con la pregunta (que nosotros mismos nos hacemos) ¿cómo ha evolucionado hasta el momento, y cómo lo hará?

        Esta pregunta, tendría respuesta, en el caso de disponer de una función f(t), que dependa del tiempo, la cual nos determinase la característica que buscamos, en un instante determinado.

        El encontrar esta función, no es en absoluto, una tarea fácil; para ello, podemos optar por 2 caminos:

1. Poseer una base de datos, correspondiente a todas las eventualidades de cualquier tipo que le han ocurrido al elemento (fallos, reparaciones, tiempos de reparación, tiempos entre fallos, dinero que cuesta cada reparación, etc...) en función del tiempo. Con ella, se puede aproximar una función f por interpolación (existen diversos métodos de interpolación, Newton, Lagrange,...), que dependerá del tiempo; de esta forma, podemos conocer el estado de cierta característica a lo largo del tiempo. La principal dificultad que tiene este procedimiento, es el conseguir dicha base de datos temporal (y con ella una o varias series temporales); de ahí la importancia de su existencia.

Veamos algunos ejemplos de interpolación; los puntos son la representación de los datos reales:

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1. Aproximar una función f, que se supone representa la evolución a lo largo del tiempo. Este segundo procedimiento, conlleva numerosos peligros, ya que dependiendo de la función que aproximemos, obtendremos resultados diferentes.

FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

        La distribución binomial proporciona la probabilidad de obtener un número especificado de éxitos en un conjunto finito de pruebas independientes, en cada una de las cuales es idéntica la probabilidad de éxito. Un ejemplo sencillo, sería el tirar una moneda al aire, y determinar la probabilidad de sacar una cara en 3 intentos, sabiendo que la probabilidad general de sacar cara en 100 intentos es del 50%.

        Si n es grande, la distribución binomial y la normal, "coinciden".

        P=probabilidad de éxito.                                                                                                                      

              1-P=q.

        Número de pruebas=n.[pic 5]

Número de fallos=x.

        Recordemos, que la función de probabilidad F, a partir de la función de densidad f, es:

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        Esta distribución, tiene una varianza de npq.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

        Esta es un caso particular de la distribución binomial, cuando el número de piezas o componentes defectuosos es pequeño, lo cual es de interés en fiabilidad porque en general, el número de fallos por unidad de tiempo es escaso. También se puede aproximar por la Normal, si n es grande.

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                Número de fallos=x.

                La varianza de esta distribución es λ.

DISTRIBUCIONES CONTÍNUAS

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

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        Esta distribución tiene una varianza de A2.

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                        f

                                                                x[pic 11]

        La gran utilización de esta distribución, radica, principalmente, es su facilidad y simplicidad de resultados finales al combinarse entre ellas; recordemos que tanto la multiplicación, como obviamente la división entre funciones exponenciales, da como resultado otra función exponencial:

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        Y no solamente esto: la derivada y la integral de una función exponencial, también es otra función exponencial:

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        Pero además, la suma y resta de exponenciales, es también otra exponencial; esto, lógicamente, ocurre cuando en todo punto tiene ambas (en el caso de ser 2) la misma pendiente. Pero si no tienen el mismo exponente, la suma puede aproximarse por una exponencial, sin más que coger los puntos que se quiera, y hallando los coeficientes correspondientes de la función (tantos como se haya querido ):

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DISTRIBUCIÓN NORMAL

        Tiene la particularidad de tener como dominio, todo el eje real. Esto, tiene graves inconvenientes, como veremos.

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        σ=desviación estándar.

        μ=media aritmética de los datos.

La varianza de esta distribución es B2.

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                        f[pic 21]

                                                                            x

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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL

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        La media y varianza de esta distribución, son, respectivamente:

        σ=desviación estándar del ln de los datos.

        μ=media aritmética del ln de los datos.

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                                                  F[pic 25][pic 26]

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                                        f

                                x[pic 28]

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN WEIBULL[pic 29]

        γ = es un parámetro inicial de posición.

        η = es un parámetro de escala.

        β = es un parámetro de forma que describe el grado de variación de la tasa de fallos.

        Si β < 1, la tasa de fallos disminuye con el tiempo.

        Si β  es constante, la tasa de fallos también es constante.

        Si β > 1, la tasa de fallos aumenta con el tiempo, lo que constituye el desgaste o el envejecimiento del componente.

        Si β = 3.5, obtenemos una distribución normal.

        La característica más importante de esta distribución, es la flexibilidad que presenta para ajustarse a los valores de los datos disponibles de funcionamiento y de vida útil del componente.

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                     f

Distintas gráficas, dependiendo de los valores de los parámetros de la distribución.

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                                                                            x

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EJEMPLOS

Veamos, 2 ejemplos de cómo aproximar una función a 2 casos reales:

MODELO DE CARGA-RESISTENCIA

        Representaremos en el eje de abcisas, la fuerza de resistencia R y la fuerza de solicitación S, y en el eje de ordenadas, la función de distribución.

• En un primer planteamiento, se suponía que R>S siempre; R-S=margen de seguridad; R/S=coeficiente de seguridad:

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                                             S              R

• En un segundo planteamiento, se suponía que la solicitación era fija, y que la resistencia se distribuía de una forma "NORMAL" de media m y desviación típica σ:

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R=N(m,σ)

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                              S                                R

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