Actividad 2.1 Determinantes

Antes de empezar…

El determinante de una matriz  de orden 2, esquemáticamente se puede representar como:[pic 2]

[pic 3]

El desarrollo de su determinante, según la regla de Sarrus, para una matriz  de orden 3 está dada por:[pic 4]

[pic 5]

Menores complementarios: Dada una matriz cuadrada de orden , se denomina menor complementario a cada una de las matrices de orden () que se obtienen al suprimir la fila y la columna donde se encuentra un elemento () de la matriz original.[pic 6][pic 7][pic 8]

Cofactor: Sea  una matriz de . El cofactor  de , denotado por , está dado por . Esto es, el cofactor  de  se obtiene tomando el determinante del menor  y multiplicándolo por . [pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

Determinante por cofactores

Sea  una matriz cuadrada . El determinante de  simbolizado por  se define como: la suma de los productos de los elementos de la primera fila de  por sus cofactores correspondientes[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

[pic 24]

Propiedades

En el manejo de determinantes se pueden establecer algunas propiedades que facilitan las operaciones de cálculo, tales como:

1. Una matriz cuadrada con una fila o una columna en la que todos los elementos son nulos tiene un determinante igual a cero.
2. El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales es nulo.
3. Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionales entre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), su determinante es cero.
4. Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo.
5. Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de una matriz por un número, el determinante de la matriz resultante es igual al de la original multiplicado por ese mismo número.
6. El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
7. Cuando a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta una combinación lineal de otras filas (o columnas), el valor de su determinante no se altera.

Otras propiedades

1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al de su traspuesta: [pic 25]
2. El determinante de un producto de matrices coincide con el producto de los determinantes de cada matriz: .[pic 26]
3. Cuando una matriz tiene inversa, su determinante es distinto de cero; análogamente, si el determinante de una matriz no es nulo, dicha matriz tiene inversa.
4. El determinante de la matriz inversa es igual al inverso del determinante de la matriz A, es decir:  [pic 27]

Matriz inversa por la adjunta

Para toda matriz cuadrada [pic 28]

[pic 29]

Donde  es la matriz identidad. Luego, si , otra forma de encontrar la inversa de una matriz está dado por:[pic 30][pic 31]

[pic 32]

Actividad 4.

Los ejercicios 1, 2 y 3 se resuelven utilizando las siguientes matrices

1. Cuáles son los menores de la matriz A y B

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