Algebra Booleana

ALGEBRA BOOLENA

Objetivo:

Dibujar diagramas lógicos a partir de expresiones booleanas.

Dibujar un diagrama lógico a partir de una tabla de verdad desarrollando primeramente la expresión booleana correspondiente.

Reducir una expresión booleana.

Convertir la expresión booleana en su tabla de verdad.

Simplificar lo circuitos lógicos.

Contenido:

Desarrollo de circuitos lógicos sencillos a partir de la tabla de verdad de los requerimientos del circuito.

Circuitos prácticos simplificados a partir de la tabla de verdad.

En el Texto básico en electrónica se vio el símbolo, la tabla de verdad, y las expresiones booleanas de las compuertas. Lo anterior, debe razonarse, ya que las compuertas son los bloques básicos de todo lo que se refiere a sistemas digitales. Memorizar el símbolo básico, el símbolo alternativo, así como dibujar la tabla de verdad a partir de la expresión booleana de cada compuerta, nos llevará a una mayor capacitación.

La lógica combinatoria se puede tomar como la interconexión de compuertas lógicas para generar funciones lógicas específicas en las que las entradas generarán la salida lógica esperada. A estos arreglos de circuitos, como ya se ha visto, forman la “lógica combinatoria”.

El álgebra booleana es una herramienta importante para el planteamiento de un circuito lógico que sea capaz de producir la función de salida deseada a partir de la condiciones de entrada.

El álgebra booleana es diferente al álgebra ordinaria ya que las constantes y variables no pueden tener más de dos variables posibles. Es decir, sólo pueden tener dos estados posibles 0 y 1. Por lo tanto, la variable se refiere a una cantidad que puede ser el estado ALTO (1) o el estado BAJO (0).

Como sólo dos valores pueden ser posibles. En el álgebra booleana no hay fracciones, decimales, números negativos, raíces cuadradas, etc. En el álgebra booleana sólo manejaremos las operaciones lógicas AND, NOT y OR.

Operación OR

En la compuerta OR se tendrá un estado lógico ALTO cuando cualquiera de sus entradas tenga un 1.

La compuerta OR es un circuito lógico que realiza la operación OR en las entradas del circuito donde se encuentra conectada.

En la expresión X = A + B + C, el símbolo “+” se lee or es decir, se debe leer la expresión:

X = A “OR” B “OR” C.

Cuando en una expresión se encuentra una X = A + B, debemos leerla como A OR B. Por lo tanto, la palabra OR, indica que existe una compuerta OR.

Operación AND

Otra operación booleana, como se vio anteriormente, es la compuerta AND. La tabla de verdad, como en todo circuito lógico, nos muestra de manera precisa el comportamiento del circuito.

La operación se realiza igualmente que una multiplicación común de unos y ceros.

Esta operación realiza la función AND en los circuitos de entrada.

La salida de la compuerta AND será un estado ALTO, sólo cuando todas las entradas estén en 1.

La expresión X = ABC, se lee X = A y B y C (y =AND).

La expresión lógica de una compuerta AND será “la salida será ALTA, sólo si A AND B AND C AND…. tengan 1).

Esta compuerta difiere de las dos anteriores en que se puede realizar en una sola variable de entrada.

Es decir, si te tiene la variable A sometida a la operación NOT, el resultado de X es:

X = /A.

/1 = 0 porque la inversión de 1 es 0

/0 = 1 porque la inversión de 0 es 1

Nota: La diagonal antes de número o una variable

Indica, que ese número o la variable es negada.

A esta operación se le llama inversión o complementación, este tipo de compuerta tiene una sola entrada y una salida. Una matrícula puede el IC 4069 que contiene 6 compuertas internamente.

Fig. 3 Distribución de patillas y compuertas internas del IC 4069

Para más información de las compuertas OR y AND vistas en las figuras 1 y 2, respectivamente, consulte 64 y 65 del “texto básico en electrónica”. De la serie de libros y manuales de la Escuela Tecnológica de Occidente, A.C.

Interpretación de las expresiones booleanas

No importa que tan complejo sea un circuito lógico, este puede ser descrito aplicando el álgebra booleana y con las tres funciones lógicas básicas, las compuertas AND, OR y NOT.

Dibujar el circuito lógico a partir de la expresión booleana

Si se tiene la expresión booleana X = A • B + C, la expresión indica que nuestro circuito tiene tres entradas y una sola salida. La expresión de la salida AND es A•B, la salida de esta se conecta a la entrada de una compuerta OR, mientras la otra entrada de la función OR es la entrada C.

Posiblemente se observen algunas confusiones dónde se tenga la indecisión sobre cual compuerta se conectará primero. Para evitar lo anterior, si una expresión contiene ambas operaciones, como el caso de nuestro ejemplo anterior, la operación AND tiene prioridad sobre la expresión OR, mientras no se exprese lo contrario con un paréntesis.

Z = A• (B + C)

Si se analiza ahora el circuito de la figura 6, la expresión para la salida OR es B + C. La salida de la compuerta OR es por lo tanto, una de las entradas de la compuerta AND. Así, la expresión a la salida de la compuerta AND es:

Z = A•(B + C)

Teoremas de boole

Los teoremas son reglas a seguir para la simplificación de circuitos lógicos. Los primeros 8 teoremas se presentan a continuación:

Cada uno de estos teoremas es de vital importancia que se entienda para poder aplicarlos posteriormente. Recuerde que el (•) indica que se hace referencia a una compuerta AND, mientas que (+) muestra a una compuerta OR. Por lo tanto, si se toma en cuenta el teorema 1, este es una compuerta AND de dos entradas, una de ellas tiene estado BAJO, la otra tiene la variable X. X puede tomar sólo dos estados posibles, 0 ó 1. Ahora, como en una entrada de la compuerta AND se tiene un estado BAJO, la salida siempre será un estado BAJO, sin importar el estado que tome X.

Los otros 9 teoremas son teoremas con variables múltiples:

Leyes conmutativas. Los teoremas 9 y 10 se refieren a este tipo de leyes e indican que no importa en orden en que se operan dos variables con OR o con AND, el resultado es el mismo.

Leyes asociativas. Los teoremas 11 y 12 aplican las leyes asociativas

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