Algebra Booleana

Algebra Booleana

El Álgebra de Boole es una estructura algebraica que nos permite dar rigor a las operaciones lógicas de conjunción, disyunción y negación vistas en el capítulo dos de la primera unidad, al igual que las operaciones de unión, intersección y complemento que vimos en el primer capítulo.

George Boole, apasionado por la matemática y la filosofía, fue el inventor del álgebra que lleva su nombre, esta álgebra se dio a conocer al mundo, y para el deleite de los estudiantes de la UNAD, cuando Boole tenía 39 años, en 1854 en la publicación de la investigación "An Investigation of the Laws of Thought", en la cual, Boole desarrolla un sistema de reglas básicas para expresar, manipular y simplificar problemas lógicos y filosóficos por procedimientos matemáticos, un método que venía desarrollando desde 1947, cuando a la edad de 32 años, publica "The Mathematical Analysis of Logic" .

Es por esto, que afirmamos que Boole fue el primero en usar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional, una técnica que se aplica, de manera constante al ámbito del diseño electrónico.

Ochenta y cuatro años más tarde, Claude Shannon, en 1938, sería el primero en aplicar el Álgebra Booleana, ya aplicada desde sus orígenes a la resolución de problemas lógicos y filosóficos, en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico.

Referencias estilo APA:

George Boole. (2008, 15) de abril. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 14:13, abril 17, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=George_Boole&oldid=16621666.

Álgebra de Boole. (2008, 16) de abril. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 14:13, abril 17, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81lgebra_de_Boole&oldid=16649338.

Aplicaciones del Algebra Booleana

Boole declara algunas proposiciones como entradas o variables de un sistema y las respuestas o salidas del mismo, de esta manera, un sistema podía ser descrito por un álgebra que el denominó Lógica Simbólica. Así, la lógica simbólica desarrollada por Boole, contiene un conjunto de reglas algebraicas que permiten su operación, razón por la cual la lógica Simbólica de Boole y sus reglas algebraicas se han denominado álgebra Booleana.

En el Algebra Booleana, los estados Verdadero y Falso, pasan a ser representados por números binarios de un dígito o bits, de allí que el álgebra Booleana también se conozca como el álgebra del sistema binario, un álgebra en la cual también trabajamos con constantes, variables y operaciones de suma, resta y multiplicación, para conformar ecuaciones o expresiones booleanas.

De esta manera, un elemento físico que represente dos estados como Abierto y cerrado de una puerta o el encendido y apagado de una bombilla o un nivel alto y un nivel bajo de agua en su señal de salida, o un modelo filosófico que arroje los estados verdadero y falso, puede ser modelado y simplificado mediante el Álgebra Booleana.

En los sistemas digitales, la implementación de las funciones lógicas se realiza por medio de dispositivos que denominamos puertas o compuertas, los cuales son normalmente dispositivos electrónicos basados en transistores.

Esta lógica Booleana, se fue transformando en lo que conocemos hoy como Lógica Digital, una lógica mediante la cual Shannon y John Von Neumann lograron desarrollar la estructura interna de los computadores que aún hoy está vigente. Es por esto que al algebra de Boole debemos hoy el advenimiento de los computadores digitales y sus aplicaciones van en aumento en muchos campos. El límite es la creatividad.

Entre otras aplicaciones, hoy se hacen muchos desarrollos interesantes en el área de psicología, mediante aplicaciones denominadas pruebas psicométricas que utilizan todos los recursos del álgebra de Boole para su diseño.

Ejemplo de aplicación

A continuación, encontrarás un interesante ejemplo de aplicación a las ciencias humandas, en el cual los doctores Antonio M. BATTRO y Percival J. DENHAM recurren a los conceptos desarrollados en el Álgebra de Boole como base teórica de la investigación "Hacia una inteligencia digital", publicada por la Academia nacional de educación de Buenos Aires en el año 2007:

Trataremos de ir de lo simple a lo complejo. Los instrumentos

musicales de teclado, por ejemplo, son una buena muestra de

programar acciones complejas con los dedos. Tienen la propiedad

de generar un sonido cuando se presiona una tecla. Esta es

la opción clic que usa el pianista. Con un solo dedo puede crear

una melodía, con dos ya puede producir acordes, es decir crear

sonidos simultáneos. Las combinaciones de sonidos aumentan

en forma exponencial a medida que aumentamos el número de

dedos sobre el teclado y el número de teclas. Por lo tanto hay un

«espacio combinatorio» que va aumentando, de una tecla a muchas,

los llamaremos espacios clic unarios, binarios, ternarios,

n-arios.

EL ESPACIO CLIC UNARIO. Como dijimos anteriormente, la alternativa

fundamental con un elemento (alternativa unaria) por sí o por

no, por «A o no A» (en símbolos, A v ~A), genera un reticulado de

Boole que es la base lógica de todo el proceso de selección basado

en la opción clic.

El reticulado elemental de Boole tiene 22, cuatro nodos. En

nuestro ejemplo del piano, la opción clic elemental, es decir «tocar

o no la tecla A», es el «supremo» del reticulado, que en el cálculo

proposicional se expresa como la disyunción A v ~A, donde

A signi.ca «tocar la tecla A» y ~A signi.ca «no tocar la tecla A».

En cambio, el «ín.mo» es la conjunción A . ~A, que no tiene realización

musical posible pues es contradictoria, sería optar por

ambos opuestos conjuntamente. Se podría también interpretar

como la meta-opción de «no tomar ninguna opción», ni por A ni

por ~A, de recusar este juego de opciones: algo equivalente a

cerrar el piano (o desconectar la computadora).

El experimento mayor/menor de Dehaene que hemos analizado

es un caso de espacio clic unario. Finalmente, las líneas

entre nodos que componen la trama del reticulado pueden interpretarse como caminos heurísticos, o sea como los «caminos

por el espacio de opciones» que nos ofrece la

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