Algebra booleana
Enviado por josejas5760 • 14 de Marzo de 2021 • Apuntes • 1.410 Palabras (6 Páginas) • 172 Visitas
4.1 Teoremas y postulados
Postulados del álgebra de Boole.
- El elemento identidad de la suma es el "0". (A + 0 = A)
- El elemento de identidad del producto es el "1". (A · 1 = A)
- La suma es conmutativa A + B = B + A
- El producto es conmutativo: A · B = B · A
- La suma es asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)
- El producto es asociativo: (A · B) · C = A · (B · C)
- El producto es distributivo respecto de la suma: A · (B + C) = (A · B) + (A · C)
- La suma es distributiva respecto del producto: A + (B · C) = (A + B) · (A + C).
- Para cada valor A existe un valor Ā tal que A· Ā = 0 y A + Ā = 1. Éste valor es el complemento lógico o negado de A.
- El álgebra de Boole es cerrada bajo las operaciones suma, producto y negación
Teoremas del álgebra de Boole.
Teorema 1: [pic 1]
Teorema 2: [pic 2][pic 3]
Teorema 3: [pic 4]
Teorema 4: [pic 5]
Teorema 5: [pic 6]
Teorema 6: [pic 7]
Teorema 7: [pic 8]
Teorema 8: [pic 9]
Teorema 9: [pic 10]
Teorema 10:
Esta tabla muestra las propiedades y teoremas más significativas o más usadas.
[pic 11]
4.2 Optimización de expresiones booleanas
Existen dos métodos para la simplificación de las expresiones booleanas, que serían por la simplificación de expresiones con teoremas de Boole, o con los mapas de Karnaugh, también conocidos como mapas-K.
Con los teoremas es algo más fácil, ya que se usan las compuertas lógicas.
A continuación, se mostrará la realización de las expresiones booleanas con los teoremas.
1.- Idempotencia.
x + x = x
x ∙ x = x
Esto se refiere a que, si sumas o multiplicas un número, el resultado siempre dará lo mismo.
Por ejemplo, si sumas 1 + 1, el resultado es 1 (hablando sobre el álgebra booleana), al igual que si multiplicas 1 x 1 = 1.
2.- Identidad de los elementos 0 y 1.
x + 1 = 1
x ∙ 0 = 0
3.- Absorción.
x + (x ∙ y) = x
x ∙ (x + y) = x
4.- Complemento de 0 y 1.
0’ = 1
1’ = 0
Esto sería la negación de 0 y 1, dando estos sus números contrarios (en sí son sus complementos, que serían los números diferentes a estos, o sea, sus inversos).
5.- Involución (doble negación).
(x’)’ = x
Este lo que hace es negar x, para después volverla a negar, volviéndose ésta a positivo nuevamente.
6.- Leyes de Morgan.
(x + y)’ = x’ ∙ y’
(x ∙ y)’ = x’ + y’
Mapas de Karnaugh
El método de mapeo de Karnaugh es un método simple para minimizar las expresiones booleanas.
El mapa representa una visualización de todas las formas posibles en que las expresiones booleanas se pueden representar en forma normalizada.
El número de casillas se puede calcular con la fórmula: número de casillas = 2n
La n representa el número de variables. Así a una expresión de 2 variables le corresponderá un mapa de 4 casillas, a una de 3 variables un mapa de 8 casillas y así sucesivamente.
4.3 Aplicación de el álgebra booleana.
Las compuertas lógicas son dispositivos que operan con los estados lógicos y funcionan igual que una calculadora; de un lado ingresas los datos, ésta realiza una operación, y finalmente, te muestra el resultado.
Cada una de las compuertas lógicas se las representa mediante un símbolo, y la operación que realiza se corresponde con una tabla, llamadas “tablas de verdad”.
Las compuertas lógicas son:
Compuerta NOT
Esta compuerta invierte los datos de entrada.
Por ejemplo: si se da de entrada el 1, obtendrás en su salida un 0, y viceversa. Esta compuerta dispone de una sola entrada.
Su operación lógica es s = ã (a invertida).
[pic 12]
Compuerta AND
Una compuerta AND tiene dos entradas como mínimo y su operación lógica es un producto entre ambas, es decir, si a es 1 y b es 1, entonces s será 1, pero si a o b es 0, entonces s será 0.
[pic 13]
Compuerta OR
Similar a la compuerta AND, esta tendrá dos entradas como mínimo y la operación lógica será una suma entre ambas, diferenciándose de que esta basta que una de ellas sea 1 para que su salida sea también 1.
[pic 14]
Compuerta OR-EX o XOR.
Es OR exclusiva en este caso con dos entradas (puede tener más) y lo que hará con ellas será una suma lógica entre a por b invertida y a invertida por b.
[pic 15]
Compuertas lógicas Combinada.
Al agregar una compuerta NOT a cada una de las compuertas anteriores los resultados de sus respectivas tablas de verdad se invierten, y dan origen a tres nuevas compuertas llamadas NAND, NOR y NOR-EX.
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