Circuitos Logicos Y Digitales

UNIDAD 3: Circuitos lógicos y digitales

Introducción

Un Sistema es un conjunto de elementos que guardan una relación entre sí, a su vez un elemento del

sistema puede ser otro sistema (subsistema). Los Sistemas se clasifican:

SISTEMAS

NATURALES

..

ARTIFICIALES

..

ELÉCTRICOS

..

ELECTRÓNICOS

ANALÓGICOS

DIGITALES

COMBINACIONALES

SECUENCIALES

Se concluye que un sistema digital es aquel cuyos elementos son digitales (sólo pueden adoptar valores

discretos). En la Unidad 2 se llegó a la conclusión que la base 2, para la elección de un sistema de numeración,

era la más adecuada desde el punto de vista de la confiabilidad y el costo. Por esta razón los Sistemas Digitales

trabajan con elementos binarios (sólo pueden adoptar dos valores). Para poder realizar el estudio de los

Sistemas Digitales se necesita estudiar una álgebra binaria. El Álgebra de George Boole, que data de 1854, es

sin dudas la más apropiada para nuestro fin. Claude Shannon en 1938 adaptó esta álgebra para la aplicación en

sistemas digitales.

Seguidamente se estudia el álgebra de Boole, las funciones booleanas, las compuertas lógicas, los

Sistemas Combinacionales y, finalmente, los Sistemas Secuenciales.

Álgebra de Boole

Postulados y teoremas

Dentro de las álgebras de Boole, es de utilidad definir la bivalente, es decir compuesta por sólo dos

elementos. Así, el álgebra es un conjunto de elementos binarios relacionados entre sí mediante las operaciones

lógicas producto [.] y suma [+], que cumplen con los siguientes postulados (las letras a, b, c, etc., indican

variables binarias):

1) Existe el elemento identidad

a + 0 = a

a . 1 = a

2) Las dos operaciones cumplen con la propiedad conmutativa

a + b = b + a

a . b = b . a

3) Propiedad distributiva

a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

a + (b . c) = (a + b) . (a + c)

4) Complementación o inversión lógica

a + a’ = 1

a . a’ = 0

UTN-FRM Arquitectura de Computadoras Unidad 2 Página 2 de 28

Algunos teoremas importantes son:

1) Dualidad: Toda igualdad lógica sigue siendo válida si se intercambian los operadores (+ y .) y los elementos

de identidad (0 y 1). La simetría de los postulados demuestra este teorema.

2) El álgebra es un conjunto cerrado; es decir, los resultados de aplicar las operaciones lógicas a las

variables, pertenecen al álgebra.

3) En el álgebra se cumple que

a + 1 = 1

a . 0 = 0

4) Ley de Idempotencia

a + a = a

a . a = a

5) Ley de involución

(a’)’ = a

6) Las operaciones lógicas son asociativas

a + (b + a) = (a + b) + c

a . (b . c) = a . (b . c)

7) Absorción:

a = a + (a . b)

a = a . (a + b)

8) Leyes de De Morgan

(a + b + c + d + .......+ n)’ = a’ . b’ . c’ . d’ ...........n’

(a . b . c . d .........n)’ = a’ + b’ + c’ + d’ + ..........+ n’

Con excepción del teorema 1, siempre aparecen dos expresiones, obsérvese que la segunda es la dual de

la primera. Se recomienda al alumno demostrar estos teoremas en forma algebraica basándose en los postulados.

Aún cuando las operaciones + y . son distributivas entre sí, de ahora en más prescindiremos de los

paréntesis que encierran los productos lógicos. Además el símbolo del producto no se indicará en lo sucesivo. De

esta forma, por ejemplo, la expresión

a + (b . c) . (d + e)

se escribirá

a + b c (d + e)

Funciones lógicas

Una función lógica es una variable binaria que depende de otras variables binarias relacionadas entre sí

por las operaciones lógicas. Una función lógica se nota de la siguiente manera:

f(a ,b ,c ,......., n) = {expresión lógica que involucra a las variables a ,b ,c , d,......, n}

La función adoptará el valor 0 o 1 de acuerdo a la expresión y al valor determinado de las variables. Por

ejemplo:

f(a ,b, c) = a b’ + a c

Se trata de una función de tres variables a la cual le corresponde la siguiente Tabla de Verdad, ver

figura 1. Puede decirse que la tabla de verdad es otra forma de expresar una función lógica.

C B A F(a, b, c)

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

Figura 1

UTN-FRM Arquitectura de Computadoras Unidad 2 Página 3 de 28

Teoremas de funciones lógicas

8) En el Álgebra de Boole se cumple

F(a, b, c,.....n) = a f(1, b, c,....n) + a’ f(0, b, c,.....n)

Para demostrar esta igualdad basta con reemplazar a = 1 y a = 0 en la expresión y verificar que la

misma se cumple en ambos casos. También, considerando que la función en cuestión no tiene restricciones, se

puede decir que también es válida su dual:

F(a, b, c,.....,n) = [a + f(0, b, c, ....n)] [a’ + f(1, b, c,....n)]

Y se trata de una función cualquiera.

Este teorema posee corolarios muy útiles a la hora de simplificar (obtener una expresión más simple de

la misma función) funciones (expresiones en general) lógicas. Se obtienen efectuando el producto miembro a

miembro de la primera expresión por a o por a’, como se indica a continuación:

a f(a, b, c, ....n) = a [ a f(1, b, c, ....n) + a’ f(0, b, c,.....n)]

aplicando propiedad distributiva al segundo miembro, se obtiene:

a f(a, b, c, ....n) = a f (1, b, c, ....n) Primer Corolario

a’ f(a, b, c, ....n) = a’ [ a f(1, b, c, ....n) + a’ f(0, b, c,.....n)]

aplicando propiedad distributiva al segundo miembro, se obtiene:

a’ f(a, b, c, ....n) = a’ f (0, b, c, ....n) Segundo Corolario

Aplicando dualidad a los corolarios, se obtienen:

a + f(a, b, c, ...n) = a + f(0, b, c, ....n) Tercer Corolario

y

a’ + f(a, b, c, ...n) = a’ + f(1, b, c, ....n) Cuarto Corolario

9) Toda función lógica puede expresarse en forma canónica, es decir:

- Como una sumatoria de términos en los cuales aparecen todas sus variables en forma de producto

lógico (estos términos se llaman MINTERMS)

- O como una productoria de términos en los cuales aparecen todas sus variables en forma de suma

lógica (estos términos se llaman MAXTERMS).

En ambos casos la función se dice expresada en forma canónica y sus términos

...