Colaborativo 2 Sistemas Dinamicos

INTRODUCCIÓN

El trabajo con sistemas dinámicos implica un análisis riguroso de las variables que afectan los mismos para que las funciones obtenidas guarden concordancia con las intencionalidades del proceso a manejar. Por esta razón, al analizar los sistemas dinámicos se tienen diferentes perspectivas de aproximación al fenómeno. Desde el punto de vista del análisis del dominio del tiempo, en donde se realiza el análisis de funciones matemáticas o señales respecto al tiempo, recibiendo dos tipos de respuestas; la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria. La primera se originada desde las características dinámicas del sistema y rige el comportamiento del mismo durante la transición desde un estado inicial hasta un estado final. Por otra parte en la segunda existe una dependencia de la señal de excitación al sistema lo que puede denotar si el sistema presenta estabilidad.

También se puede centrar el análisis desde el punto de vista de la frecuencia, donde el análisis matemático se centra en contrastar las respuestas con respecto a la frecuencia, principalmente desde series de Fourier para convertir señales lineales en números infinitos o finitos.

Por otra parte cuando se trabaja desde la aproximación desde el lugar geométrico de las raíces, donde se posibilita establecer la ubicación de los polos de un sistema conforme cambia el valor de K y en análisis en el espacio de estados, basados en la función de transferencia con representaciones en el desde la forma canónica controlable, observable, diagonal o de Jordan.

Este trabajo centra su atención en el análisis de estados para una situación específica, por ser éstas el conjunto más pequeño de variables que pueden representar al sistema dinámico completo en un tiempo cualquiera.

DESARROLLO

Encuentre el modelo matemático que relacione el voltaje de entrada v(t) y la Velocidad angular de salida ( ) m ω t , para la planta G(s) que se muestra en la figura.

Los valores para el sistema de la figura 1 tomando números aleatorios son:

[cc (1) cc (2) cc (3) cc (4) cc (5)]

[ 9 0 0 1 2]

Entonces:

Figura 1: Sistema hibrido eléctrico-mecánico.

Entonces:

Ra=9Ω

La=0

J=-0.1Kg/m2

B=0.3N*m/rad/seg

TL=1.1N*m

Para el motor se le asignó una constante típica de:

km=3.7V/rad/seg

Modelo matemático

Parte eléctrica:

Inicialmente se analiza la parte eléctrica del motor D.C. Como salida de la parte eléctrica se tiene la corriente de armadura ia(t) y como entrada la señal de voltaje v(t).

Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff se tiene que:

v(t)=L_a (di_a (t))/dt+R_a i_a (t)+e_a (t) (1)

Transferencia: Existen dos tipos de transferencia, una eléctrica-mecánica donde como resultado se tiene un torque en función de la corriente, y otra mecánica-eléctrica que da como resultado un voltaje en función de la velocidad angular de la máquina.

Las relaciones entre el torque y la corriente, y la velocidad y el voltaje generado se encuentran en la Ec. 2 y Ec. 3, éstas ecuaciones describen respectivamente la dinámica de la transferencia de energía eléctrica en mecánica, y a su vez, la retroalimentación velocidad hay mayor voltaje generado, y por tanto la corriente de armadura se ve afectada.interna que existe en la máquina la cual actúa como reguladora ya que a mayor

T(t)=kΦi_a (t)=k_m i_a (t) (2)

e_a (t)=kΦrpm=k_m ω(t) (3)

Parte mecánica:

El análisis de éste subsistema da como resultado la Ec. 4, que completa el grupo de ecuaciones que contienen la dinámica del motor D.C., controlado por corriente de armadura.

La parte mecánica es similar al sistema mecánico rotacional.

J (dω(t))/dt+Bω(t)=T(t)-T_L (4)

Tomando como salida la velocidad en el eje del motor ω(t), y como entrada el voltaje de alimentación de la armadura v(t), y conociendo que L{ ω(t)}=Ω(s)y L{ v(t)}=V(s) se debe llegar a una función de transferencia total de la forma:

G_T (s)=(Ω(s))/(V(s))

Sabemos que:

Ω(s)=1/(Js+B) (T(s)-T_L ) (5)

T(s)=k_m I_a (s) (6)

E_a=k_m Ω(s) (7)

I_a (s)=1/(L_a s+R_a ) [V(s)-E_a (s)] (8)

Reemplazando la Ec. 6 en la Ec. 5 se tiene una expresión que relaciona la velocidad y la corriente

Ω(s)=1/(Js+B) (k_m I_a (s)-T_L )[9]

Reemplazando la Ec. 7 en la Ec. 8

I_a (s)=1/(L_a s+R_a ) [V(s)-k_m Ω(s)][10]

Por último, se reemplaza la Ec. 10 en la Ec. 9

Ω(s)=1/(Js+B) [k_m 1/(L_a s+R_a ) [V(s)-k_m Ω(s)]-T_L ][11]

Se despeja Ω(s)

Ω(s)(Js+B)(L_a s+R_a )=k_m V(s)-k_m^2 Ω(s)-(L_a s+R_a ) T_L

Ω(s)(Js+B)(L_a s+R_a )+k_m^2 Ω(s)+(L_a s+R_a ) T_L=k_m V(s)

Ω(s)[(Js+B)(L_a s+R_a )+k_m^2 ]=k_m V(s)-(L_a s+R_a ) T_L

Escribiendo como función de transferencia:

Ω(s)=(k_m V(s))/((Js+B)(L_a s+R_a )+k_m^2 )-T_L/((Js+B) )=(3.7V(s))/(10s^2+9s+19.29)-1.1/(s+0.3)

...