Conceptos previos Lenguajes y Autómatas

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TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO

Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Los Cabos

Investigación Conceptos Previos

 MATERIA:

Lenguajes y autómatas I

PRESENTA:

Reyes Hernández José Raúl

GRUPO:

Docente:

José Ismael Ojeda Campaña

San José del Cabo, B.C.S.                                10 de febrero de 2022

Introducción

En esta documentación abordare conceptos previos que debemos tener en cuenta para adentrarnos a la materia de Lenguajes y autómatas.

Hablare sobre la definición acompañada de un ejemplo.

Contenido

Introducción        2

Conjunto        4

Operaciones con conjunto        4

Equivalencia de conjuntos        7

Relaciones y funciones        7

Conjuntos infinitos.        8

Tablas de verdad        9

Conclusión        10

Bibliografía        10

Conjunto

Un “conjunto” pretende ser una colección de objetos, y la “pertenencia” pretende ser la relación que puede darse entre un objeto dado y un conjunto dado: si el objeto es uno de los que forman parte del conjunto, se dice que el objeto “pertenece” al conjunto (o que es un elemento del conjunto) y en caso contrario que “no le pertenece”.  

Operaciones con conjunto

OPERACIÓN COMPLEMENTO

Sean A = {a, b, c} y U = {a, b, c, d} los conjuntos definidos para establecer la operación de complemento y su determinación. El complemento del conjunto A son los elementos que le faltan para ser el conjunto universo, en este caso es el elemento d y geométricamente es lo que le falta también al conjunto A para ser el conjunto universo. Formalmente, sea U el conjunto universo y A un subconjunto de U, el complemento de A se denota por A’ y se define como el conjunto de elementos que están en U pero que no están en A. El conjunto complemento de A también se define como la diferencia del conjunto universo U y del conjunto A, esto es,

A’ = U – A.

Simbólicamente, el complemento de A se escribe como

A’ = {x ∈ U / x ∉ A} ó A’ = U – A

UNIÓN

Mediante el siguiente problema se entenderá el concepto de unión y el procedimiento.

Si U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i},

A = {b, c, d, e} y

B = {d, e, f, g}; determinar el conjunto unión A∪B.

En efecto, unión es unir y unir es juntar; por ejemplo, si dos grupos escolares se fusionaran se obtiene un nuevo conjunto mediante la unión de dos conjuntos. En el problema propuesto, al unir los conjuntos A y B, se obtiene otro nuevo conjunto, pero con elementos repetidos, d y e. Para que el nuevo conjunto esté bien definido, se eliminan dos de los cuatro elementos d y e. Finalmente, el resultado es y se expresa como

A∪B = {b, c, d, e, f, g}

INTERSECCIÓN

La pregunta ¿existe intersección entre los conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f} y U = {a, b, c, d, e, f, g}; nos puede conducir al concepto y el procedimiento? Antes de examinar el problema, se puede decir que la idea de intersección la podemos encontrar, por ejemplo, en el punto común a dos líneas que se cortan, en los puntos comunes a dos líneas, a dos superficies o a dos sólidos que se cortar recíprocamente. Esta idea también la podemos hallar en la fusión de dos grupos de números o sociales, ya que en los primeros podría haber números que pertenecen a ambos y en los segundos los individuos. Como puede percibirse, la idea de compartir por dos o más está en el fondo y es ésta la que se utilizará para analizar el problema y llegar al concepto y procedimiento. En efecto, los conjuntos A y B comparten los elementos c y d; A y U los elementos a, b, c y d; y B y U los elementos c, d, e y f.

Por lo tanto, {c, d}, {a, b, c, d} y {c, d, e, f}; son los conjuntos producto de la operación intersección. Este que resulta debe ser congruente con la definición de intersección que se proporciona a continuación.

Sean A, B y U tres conjuntos definidos, la intersección de los conjuntos A y B subconjuntos del conjunto universo U, se denota por ∩ y se define como el conjunto de los elementos del U que están en A y en B. Simbólicamente, sean A y B dos subconjuntos del conjunto universo U. Entonces

A∩B = {x ∈ U / x ∈ A y x ∈ B} ó

A∩B = {x/x ∈ A y x ∈ B}

Esta definición también se puede expresar como

A∩B = {cualquiera que sea x tal que x ∈ A y x ∈ B}.

Luego de aplicar esta definición a los conjuntos no comparables, disjuntos y comparables, respectivamente, se obtiene que:

Si A y B son conjuntos tal que A ⊄ B y B ⊄ A. Entonces A ∩ B = {x ∈ U/ x ∈ A y x ∈ B}; si A y B son conjuntos tal que A ⊄ B y B ⊄ A. Entonces A∩B = {x ∈ U/ x ∈ Ø} = Ø; y si A y B son conjuntos tal que A ⊂ B ó B ⊂ A. Entonces A∩B = {x ∈ U/ x ∈ A} ó A∩B = {x ∈ U x ∈ B}.

DIFERENCIA

Con el propósito de establecer el concepto y el procedimiento de diferencia entre los conjuntos A y B, se formula la pregunta ¿cómo establecer la diferencia entre los conjuntos A = {a, b, c, d} y B = {c, d, e, f}? Al observar los conjuntos dados, se nota que los elementos a y b de A, lo distinguen de B y que los elementos e y f de B, lo distinguen de A. Con esta idea del lenguaje común se generan los conjuntos {a, b} y {e, f}, los cuales corresponden a A – B = {a, b} y B – A = {e, f}. Esta idea es útil para definir la diferencia, es decir, la diferencia entre los subconjuntos A y B del conjunto universo U, se denota por – y se define como el conjunto de los elementos que están en A pero que no están en B. Esto es,

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