Desarrollo de Binomios

DESARROLLO DEL BINOMIO

[pic 1]

Una de las aplicaciones de las combinaciones más utilizadas es el desarrollo del Binomio de Newton. Los números combinatorios [pic 2]son llamados también coeficientes binomiales por el papel que juegan en el desarrollo del binomio:

(a + b)n , n = 0, 1, 2, 3,¼

Sabemos que:

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 +b6

Hagamos algunas observaciones acerca de estos desarrollos:

1. En el desarrollo de (a + b)n hay (n+1) términos.
2. Los exponentes de a disminuyen de 1 en 1 desde n hasta 0.
3. Los exponentes de b aumentan de 1 en 1 desde 0 hasta n.
4. Las suma de los exponentes de a y b en cada uno de términos es igual a n.
5. Los coeficientes del primer y último términos son ambos iguales a 1
6. Los coeficientes del segundo y penúltimo término son ambos iguales a n.
7. Los coeficientes de los términos son simétricos respecto del término central (si n es par) o respecto de los dos términos centrales (si n es impar).

Considerando todas las observaciones anteriores, los (n+1) términos del desarrollo (a+b)n sin sus coeficientes son:

an , an-1b , an-2b2 , an-3b3 ,¼ , an-rbr ,¼ , abn-1 , bn

Si multiplicamos (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)3, obtenemos

aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb

Un término con 3 a y 0 b

Tres términos con 2 a y 1 b

Tres términos con 1 a y 2 b

Un término con 0 a y 3 b

Si consideramos el número de b en cada término del producto de los tres factores

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