Discretización de una función de trasferencia en tiempo continuo

INGENIERÍA EN COMUNICACIONES

Y ELECTRÓNICA

REPORTE DE MATLAP

Discretización de una función de trasferencia

en tiempo continuo

.

Introducción

La discretización es un proceso matemático mediante el cual vamos a obtener resultados aproximados de la ecuación diferencial del problema.

En este caso, se desea discretizar una función de transferencia de un sistema de control de segundo orden en el dominio del tiempo.

Sistema de segundo orden.

Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden a una ecuación diferencial línea de segundo orden.

Sin pérdida de generalidad se analizará un caso muy común donde:

[pic 1]

Que corresponde al siguiente sistema de segundo orden:

[pic 2]

Su función de transferencia de lazo cerrado es:

[pic 3]

Donde  [pic 4]  es   la frecuencia natural no amortiguada, [pic 5]  es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de los parámetros      y  [pic 7]    .[pic 6]

Ya habiendo explicado lo que es un sistema de segundo orden, explicaremos los métodos de discretización que se aplicaran a la función de segundo orden.

Métodos de discretización.

La transformada bilineal (también conocida con el nombre de Método de Tustin) es usada habitualmente en el campo del procesamiento digital de señales y en la Teoría de control de señales discretas. Esta herramienta matemática suele usarse para transformar la representación en tiempo continuo de las señales en tiempo discreto y viceversa.

Objetivos

Diseñar un programa en MATLAB que realice una discretización de una ecuación de segundo orden de un sistema de control.

Graficar la respuesta de la ecuación discretizada en dominio del tiempo.

Evaluar y comparar los resultados obtenidos de cada método.

Desarrollo

Para la realización del programa se realizara la ecuación de segundo orden de la forma:

[pic 8]

Donde las variables son conocidas como:

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

Y el cálculo de la ecuación discretizada se llevará a cabo por 2 métodos diferentes.

Tustin

Triangular

Programa

close all 

clear all

clc

%Variables para la Funcion discretizada de segundo orden

w2 = 100; %Ganancia del sistema al cuadrado

z = 0.4; %Factor de amortiguamiento

w = 10; %Ganancia del sistema

%Trasnformacion de variables para ecuacion

num=w2;

s2=1;

s=2*z*w;

den=w2;

t=0.0001;

%Funcion discretizada por tustin

f = tf( [num] , [ s2 s den ] )

F = c2d( f ,t ,'tustin')

figure('name','Metodo de Tustin');

step(F,'-')

grid on;

%Funcion discretizada por Triangular

f = tf( [num] , [ s2 s den ] )

F = c2d( f ,t ,'foh')

figure('name','Metodo Triangular');

step(F,'-')

grid on;

Resultados

Método de Tustin

En el siguiente método de Tustin en el cual se logra observar como a un tiempo de muestreo de 0.0001 la respuesta del sistema se observa igual visualmente a la de método triangular

...