Diseño de controladores estabilizantes para sistemas descritos a través de funciones de Laguerre
Enviado por howardsieveret • 20 de Abril de 2020 • Informe • 3.026 Palabras (13 Páginas) • 111 Visitas
Diseño de controladores estabilizantes para sistemas descritos a través de funciones de Laguerre
Juan Pablo Requez
juanrequez@gmail.com
Resumen: Pendiente
Palabras Clave: Pendiente, parametrización de controladores, funciones ortonormales.
- IntroducciÓn
Pendiente
- Generalidades
- Parametrización del controlador estabilizante
Un lazo de control convencional, como el de la Figura 1, posee una función de transferencia de lazo cerrado de la forma
[pic 1] | (2) |
La expresión de la ec. (2) es no lineal en C(s). Esto hace que el ajuste de C(s) para obtener características específicas de lazo cerrado difícil [1]. Estas características de diseño del controlador pueden ser que el sistema sea internamente estable y que cumpla una restricción general sobre y, como por ejemplo, que siga asintóticamente a r, como se indica en [2]. La solución de este problema se puede conseguir a través de una parametrización de C como
[pic 2] | (3) |
[pic 3]
Figura 1. Sistema de realimentación unitaria [2]
Donde P es estrictamente propia y C es propia [2] [3]. Esta parametrización de C en función de Q es conocida como la Parametrización de Youla de todos los controladores estabilizantes para plantas estables [1] y permite el diseño del sistema de control usando funciones estables, propias y racionales, de acuerdo con los requerimientos de control. La elección de Q no es directa, existen infinitas candidatas que pueden satisfacer a las especificaciones de control. En efecto, la parametrización (3) permite escribir las funciones de transferencia relevantes de la planta según
[pic 4] | (4) |
[pic 5] | (5) |
La función S(s) es conocida como función de sensibilidad y la función T(s) como función de sensibilidad complementaria. Se cumple que
[pic 6] | (6) |
Más aún, la parametrización (3) garantiza que el sistema de control será internamente estable si y solo si Q(s) es cualquier función de transferencia propia cuando C(s) es parametrizada como se muestra.
Lo más relevante de la parametrización descrita es que describe todos los controladores posibles que son lineales e invariantes en el tiempo para la planta LTI, y lo único necesario es garantizar que Q(s) sea elegida como una función de transferencia estable [1].
Una forma más general del proceso mostrado en la Figura 1 se muestra a continuación en la Figura 2. Sobre ella es posible definir varias funciones de sensibilidad, y su parametrización en función al parámetro Q es lineal, como se muestra en la tabla
[pic 7]
Figura 2. Sistema de realimentación unitaria más general [1]
Tabla 1. Funciones de sensibilidad
Nombre | Función de transferencia | Parametrización | Relación Salida/entrada |
Sensibilidad Complementaria Nominal | [pic 8] | [pic 9] | [pic 10] |
Sensibilidad | [pic 11] | [pic 12] | [pic 13] |
Sensibilidad de la perturbación de entrada | [pic 14] | [pic 15] | [pic 16] |
Sensibilidad del control | [pic 17] | [pic 18] | [pic 19] |
Para el diseño de controladores, por lo general una de las funciones de sensibilidad es ajustada según el interés, y esto define inmediatamente a las otras. En [1] se indica que una de las estrategias comunes es el diseño de S(s), de tal forma que sea pequeña a bajas frecuencias y luego se convierta en 1 en altas frecuencias.[pic 20]
- Funciones y series de Laguerre
Las funciones de Laguerre son expresiones simples que permiten representar a un sistema usando el conocimiento previo de este, permitiendo que el modelo resultante sea tan preciso como se desea. La estructura y su descripción sirve como una base de las funciones cuadrado integrables en el dominio del tiempo, lo que permite representar a un conjunto muy grande de procesos y sistemas reales. Muchos trabajos han descrito la velocidad de convergencia de expresiones de este tipo, el error asociado y sus aplicaciones prácticas en el área de Control de Procesos.
Las funciones de Laguerre [4] se definen como se muestra en ec. (7)
[pic 21] | (7) |
que se relacionan con los polinomios de Laguerre definidos a través de la ec. (8)
[pic 22] | (8) |
Es conocido que la secuencia {} es una base ortonormal para el espacio de Hilbert [4], lo que permite escribir la respuesta al impulso h(t) de un sistema usando las funciones de Laguerre [4] [5] [6] a través de la serie de Fourier-Laguerre que se indica en la ec. (9). En la Figura 3 se observa la forma de las funciones de Laguerre de orden 1 hasta 4, para un valor de arbitrario. Observese que a medida que n aumenta, la respuesta tiene más cortes del eje temporal.[pic 23][pic 24][pic 25]
[pic 26] | (9) |
[pic 27]
Figura 3. Comparación de las funciones de Laguerre de grado 1, 2, 3 y 4
La expresión para las funciones de Laguerre en el espacio de Laplace es la siguiente
[pic 28] | (10) |
Las funciones de Laguerre (10) forman una base ortonormal para considerando el producto interno[pic 29]
[pic 30] | (11) |
Y satisfacen que
[pic 31] | (12) |
En la Tabla 2 se presentan las primeras cuatro funciones de Laguerre en el dominio temporal y frecuencial. Obsérvese que todas las expresiones en el dominio del tiempo son el producto de una expresión exponencial por una expresión polinomial. El polinomio asociado es conocido como polinomio de Laguerre asociado a la función de Laguerre.
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