Electrocinética

7º ELECTROCINÉTICA Ejercicios del capítulo:

1. INTRODUCCIÓN.

En la Electrostática estudiamos los sistemas constituidos por cargas eléctricas (puntuales o distribuidas de forma continua) en reposo. Hemos visto como estas cargas estáticas producen campos eléctricos y potenciales eléctricos, que a su vez permiten describir las interacciones entre cargas inmóviles. Sin embargo la consideración de determinadas distribuciones de cargas obliga a considerar la necesidad de trasladar las cargas y por lo tanto a introducir los sistemas de cargas en movimiento, es decir, a introducir la Electrocinética. La Electrocinética estudia el mecanismo del transporte de cargas eléctricas a través de los medios materiales sólidos, líquidos y gases. En este curso nos limitaremos a considerar unicamente los materiales sólidos y estructura cristalina, lo que no significa que la conducción de carga eléctrica a través de gases y a través de líquidos no sean problemas muy interesantes, tanto desde el punto de vista de la investigación, como desde el punto de vista de sus aplicaciones tecnológicas.

2. TEORÍA CLÁSICA DE LA CONDUCTIVIDAD EN CONDUCTORES.

Para la mayor parte de materiales sólidos reales, el desplazamiento de cargas eléctricas a través de los mismos puede describirse con suficiente aproximación, al menos en sus aspectos cualitativos, con un modelo dentro de la Física Clásica. Si se trata de dieléctricos, podemos admitir en la mayor parte de las situaciones un comportamiento de aislantes ideales, es decir, no pueden ser atravesados por cargas eléctricas en desplazamiento relativo respecto de la red (cristalina o amorfa) de átomos del sólido. A parte quedarían los materiales superconductores y semiconductores, cuyo comportamiento no puede explicarse con modelos de la Física Clásica y sí con modelos mecano-cuánticos como veremos más adelante.

La mayoría de los sólidos conductores tienen una estructura cristalina de tipo metálico, es decir, una red cristalina inmersa en una "nube" de electrones libres que se han desprendido de los átomos que forman los nudos de la red. Por termino medio cada átomo libera un electrón , por lo que la densidad de electrones libres n (cm-3) coincide numéricamente con la densidad de átomos N (cm-3); es decir, n = N. Los electrones libres, que en su conjunto forman el llamado gas de Fermi, son las únicas cargas que, al no estar ligadas a los átomos pueden desplazarse con respecto a la red cristalina. Los átomos ionizados en su conjunto ocupan posiciones medias fijas y por lo tanto no se desplazan.

2.1 Densidad de electrones libres en un conductor.

Como hemos dicho n  N, por lo tanto la densidad de electrones libres vendrá dada por la relación

(7.1)

siendo NA el número de Avogadro (6.022x1023 mol-1); D la densidad (que expresaremos en g/cm3) y A es el peso atómico del elemento (en g/mol). Así pues, el resultado para n ó N vendrá expresado en cm-3.

2.2 Movilidad de los electrones libres.

Al aplicar al conductor un campo eléctrico E (o lo que es equivalente, una diferencia de potencial), sobre cada electrón se ejercerá una fuerza eE en sentido contrario a E por ser e un valor negativo (1.602 x 10-19C). Esta fuerza tendería a imprimir a cada electrón un movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado, pero pronto el electrón interaccionará (chocará) con alguno de los nudos de la red (iones positivo) o con otro electrón libre. Así pues, el movimiento de los electrones libres será errático, aunque con una tendencia al sentido contrario del campo eléctrico. Sin embargo el valor medio del módulo de la velocidad aleatoria es del orden de 106 m/s y el recorrido medio es de unas 200 veces la distancia media entre átomos. En este modelo se supone que la velocidad media de desplazamiento vn será proporcional al campo E. A la constante de proporcionalidad le llamamos movilidad y la designamos con  n:

(7.2)

Habitualmente expresaremos  n en cm2 V-1s-1.

2.3 Densidad de corriente y conductividad.

Suponiendo pues que las cargas eléctricas (electrones libres) se desplazan a lo largo de un conductor e imaginando una superficie normal al vector vn y de área unidad (1 cm2 por ejemplo), definimos como densidad de corriente a la cantidad de

carga que atraviesa esa superficie en la unidad de tiempo:

(7.3)

y a la densidad de corriente por unidad de campo eléctrico se le denomina conductividad,  n :

(7.4)

La conductividad es una constante característica de cada material conductor a temperatura constante. El valor de n es prácticamente constante, pero  n depende de la temperatura, por lo que  n también depende de ella y más concretamente decrece cuando la T crece. El modelo podría aplicarse en principio a materiales en los que además de cargas negativas libres (electrones), tuviera cargas positivas libres. Esto último resulta difícil de imaginar, pero en los llamados semiconductores se supone que la corriente eléctrica es transportada por ambos tipos de portadores, de forma que su conductividad puede expresarse así:

(7.5)

siendo n la densidad de electrones libres, p, la densidad de cargas positivas libres (denominadas huecos) y  n y  p las respectivas movilidades. En este caso no sólo dependen de la temperatura  n y  p sino también y muy fuertemente n y p, por lo que  varía con la temperatura de forma distinta a los conductores y concretamente normalmente crece con la temperatura.

2.4 Intensidad de corriente eléctrica y resistencia.

La intensidad de corriente se define como la cantidad de carga eléctrica que atraviesa la sección del conductor normal al campo eléctrico en la unidad de tiempo. Si llamamos A al área de la sección, la intensidad podría ponerse así:

(7.6)

Naturalmente la unidad S.I. de intensidad será 1 Cs-1, pero esta unidad recibe el nombre especial de amperio (símbolo A). Teniendo en cuenta la (7.3), nos queda:

(7.7)

pero, de forma aproximada, E = V / l , siendo V la diferencia de potencial aplicada

entre los extremos del conductor y l la longitud del mismo. Luego,

(7.8)

pero es una constante para cada conductor que se denomina conductancia eléctrica. Su inverso se llama resistencia eléctrica y la designaremos con R:

(7.9)

Donde  n se denomina resistividad ( .m). En la tabla 7.2 vemos una lista de materiales y sus respectivas resistividades. La resistencia eléctrica se medirá en el S.I. en V/A, pero esta unidad recibe el nombre de ohmio (1  ).

Magnitud Símbolo Unidad S.I.

Intensidad I amperio (A)

Conductividad  ohmio-1 cm-1 (1  -1

...