Equilibrio en un plano inclinado

Ejemplo: Equilibrio en un plano inclinado.

Un objeto de peso W1 se sostiene en equilibrio en un plano inclinado que forma un

ángulo de θ con la horizontal, con ayuda de un cuerpo suspendido de peso W2,

una cuerda y una polea, como se muestra en la siguiente figura.

Encontrar la reacción normal N del plano inclinado contra el cuerpo de peso W1, y

el peso del cuerpo W2 necesario para mantener el sistema en equilibrio.

En el lado derecho de la figura se muestran los sistemas en los cuales se ha

subdividido el sistema principal. Tenemos (a) el sistema con el bloque de peso W1,

este sistema se encuentra inclinado un ángulo θ con respecto a la horizontal. En

(b) tenemos el bloque de peso W2. Tanto en (a) como en (b) se ha dibujado el

sistema de referencia a utilizar. El sistema de (a) se ha puesto inclinado de tal

forma que el bloque quede horizontal, se hace solo para efectos prácticos, y los

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resultados son iguales en cualquier sistema de coordenadas, ya que son sistemas

inerciales.

Vamos a describir cada una de las fuerzas que actúan en cada diagrama.

En el diagrama (a) tenemos:

• El peso del objeto el cual es en magnitud W1 y tiene componentes en los ejes

X y Y, dadas por,

Los signos menos provienen de la dirección de las componentes. En el diagrama

solo hemos colocado la magnitud de las componentes.

• La fuerza normal, N, producto de la respuesta del plano inclinado sobre el

objeto. Esta fuerza es perpendicular al plano, y solamente la componente del peso

perpendicular al plano será la que defina la normal. Como en este eje el objeto se

encuentra en reposo la suma de las fuerzas es igual a cero,

Esta es la magnitud de la fuerza normal.

• La tensión, T, es decir la fuerza que ejerce la cuerda sobre el objeto, y que

depende del peso del objeto que se encuentra colgado. Como el cuerpo está en

reposo en el eje Y, la suma de fuerzas debe ser igual a cero y se encuentra que la

magnitud de la tensión debe ser igual a la componente X del peso del objeto.

Esta es la magnitud de la tensión.

En el diagrama (b) tenemos:

• La tensión T' , ejercida por la cuerda sobre el objeto. La cuerda se supone

inextensible, es decir, que no es un caucho y no se deforma con el peso del

objeto. Además no ejerce fricción de ningún tipo ni con el plano ni con la polea, de

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manera que la magnitud de la fuerza de tensión sobre los dos cuerpos es la

misma, es decir,

Y esta es la magnitud de la fuerza de tensión sobre el objeto.

• El peso del objeto W2. Como el objeto se encuentra en reposo tenemos que la

suma de fuerzas debe ser igual a cero, por lo tanto,

En donde mW2 es la masa del objeto de peso W2. Esta es la masa necesaria para

mantener el objeto en reposo.

4. ALGUNAS APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON

La Máquina de Atwood

Dos masas M y m están unidas mediante una cuerda que pasa sobre una polea,

como se muestra en la figura.

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Supóngase que M es mayor que m, que la cuerda no tiene masa y es inextensible,

y que se puede despreciar la fricción y la inercia de la polea.

Nuestro objetivo es describir el movimiento del sistema y la tensión T de la cuerda.

Se considerará la dirección vertical hacia arriba como la dirección positiva del

desplazamiento para m, y la dirección opuesta a la anterior como la dirección

positiva de desplazamiento de M, es decir, para la masa pequeña m hacia arriba

es el signo positivo, mientras que para la masa mayor M el valor positivo es hacia

abajo.

Lo anterior parece una complicación, pero se hace con el objetivo de que exista

concordancia entre el movimiento de la masa pequeña y la grande, de tal forma

que cuando las masas se muevan tengan el mismo signo.

Como la cuerda es inextensible, la rapidez con la cual se mueve la masa m es

igual a la rapidez de movimiento de la masa M, en caso contrario la cuerda se

alargaría o acortaría. Si la rapidez de las dos masas es igual, el valor de sus

aceleraciones también lo será. Aplicando la segunda ley de Newton al diagrama

mostrado en la figura tenemos,

y también

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En donde a es la aceleración común de movimiento de las dos masas. Podemos

sumar estas dos ecuaciones para eliminar la tensión T.

Y al sustituir este valor en la ecuación de la masa m, se obtiene,

El aparato descrito se le conoce por máquina de Atwood y se utiliza para

determinar con exactitud la aceleración de la gravedad. Objetos en caída libre

recorren distancias fácilmente medibles en laboratorios, en intervalos de tiempo

muy cortos que son muy difíciles de medir con precisión. Por lo tanto para realizar

medidas precisas de g se debe diseñar una máquina que permita realizar las

medidas de manera fácil.

Este equipo es la máquina de Atwood, si M y m son casi iguales, en la ecuación

de aceleración, se puede ver

...