Equilibrio

EQUILIBRIO, INDETERMINACIÓN Y GRADOS DE LIBERTAD

1. EQUILIBRIO

Decimos que un cuerpo se encuentra en equilibrio estático cuando permanece en estado de reposo ante la acción de unas fuerzas externas.

El equilibrio estático se aplica a el cuerpo en sí como a cada una de las partes.

Decimos que un cuerpo se encuentra en equilibrio dinámico cuando responde con un movimiento o vibración (aceleración) controlada de sus partes (deformación) mas no de su soportes, ante la acción de las cargas generadas por sismo, viento, motores y en general aquellas excitaciones dinámicas producidas por la carga viva.

1.1 Ecuaciones básicas de equilibrio

Las ecuaciones que describen el equilibrio estático son planteadas en la primera ley de Newton y controlan los movimientos del cuerpo en traslación y rotación.

y

Dos ecuaciones vectoriales que se convierten en seis ecuaciones escalares, tres de traslación y tres de rotación.

, estas tres corresponden a tres posibles formas de desplazamiento, es decir, tres grados de libertad del cuerpo y corresponden a tres grados de libertad de rotación.

En total representan seis formas de moverse, seis grados de libertad para todo cuerpo en el espacio.

Para estructuras planas basta con plantear tres ecuaciones que representen los tres grados de libertad del cuerpo, dos desplazamientos y una rotación:

1.2 Ecuaciones alternas de equilibrio

En el plano se puede verificar el equilibrio por medio de dos ecuaciones de momento y una de fuerzas o por medio de 3 ecuaciones de momento:

a) Una ecuación de traslación y dos momentos: siempre y cuando se cumpla que los puntos a y b no coincidan ambos con el eje Y o en una línea paralela a Y.

Si colocamos a “a” y “b” sobre Y en ninguna de las ecuaciones estaríamos involucrando las fuerzas paralelas o coincidentes con Y.

b) Tres ecuaciones de momento: .

Para que estas ecuaciones involucren todas las fuerzas los puntos a, b y c no pueden ser colineales.

Para aplicar las ecuaciones de equilibrio se debe construir un diagrama de cuerpo libre de la estructura, en el cual se representen todas las fuerzas externas aplicadas a ella.

Las reacciones en los soportes crecen o decrecen a medida que las cargas varían, pero para el análisis, consideraremos los apoyos rígidos e infinitamente resistentes. Cabe aclarar que los apoyos pueden ser elásticos, esto es, apoyos que se pueden modelar como resortes, cuyas reacciones son proporcionales a los desplazamientos o rotaciones sufridas.

Cuando definimos el equilibrio mencionamos dos condiciones, una para el cuerpo en general que corresponde al equilibrio externo, y otra para cada una de sus partes que corresponde al equilibrio interno sin tener en cuenta los apoyos (estabilidad interna).

2. ESTABILIDAD Y DETERMINACIÓN EXTERNAS

la estabilidad se logra si el número de reacciones es igual al número de ecuaciones de equilibrio independientes que se puedan plantear, siempre y cuando las reacciones no sean concurrentes ni paralelas.

Las ecuaciones de equilibrio independientes corresponden a las ecuaciones de equilibrio general mas las ecuaciones de condición adicional en las uniones de las partes de la estructura (rótulas o articulaciones internas), por ejemplo:

• Caso de reacciones concurrentes

No restringen la rotación generada por fuerzas externas que no pasen el punto de concurrencia de las reacciones.

• Caso de reacciones paralelas

No restringen el movimiento perpendicular a ellas.

2.1 Condiciones de equilibrio y determinación en estructuras planas

Si # reacciones = # ecuaciones estáticas más ecuaciones de condición; hay estabilidad.

Si # reacciones < # ecuaciones; es inestable .

Si # reacciones > # ecuaciones; es estáticamente indeterminado o hiperestático y su grado de indeterminación estática externa se determina por:

GI externo = # reacciones - # ecuaciones

2.2 Estabilidad y determinación interna

Una estructura es determinada internamente si después de conocer las reacciones se pueden determinar sus fuerzas internas por medio de las ecuaciones de equilibrio.

Una estructura es estable internamente, si una vez analizada la estabilidad externa, ella mantiene su forma ante la aplicación de cargas.

La estabilidad y determinación interna están condicionadas al cumplimiento de las ecuaciones de equilibrio de cada una de las partes de la estructura.

Para analizar las fuerzas internas se usan dos métodos:

El método de las secciones y el método de los nudos.

En el método de los nudos se aplican las ecuaciones (armaduras planas) a cada nudo en sucesión y en el método de las secciones se aplican las ecuaciones a cada una de las partes de la estructura y se obtienen las fuerzas internas en los elementos interceptados por una línea de corte trazada adecuadamente.

2.3 Armaduras

Este tipo de estructuras está construido por uniones de articulación, donde cada uno de sus elementos sólo trabaja a carga axial.

Por cada nudo se tienen dos ecuaciones estáticas.

Si n es el número de nudos, m es el número de miembros y r es el número de reacciones necesarias para la estabilidad externa tenemos:

Número de ecuaciones disponibles: 2 x n

Número de incógnitas o fuerzas a resolver = m, una fuerza por cada elemento, note que aquí se pueden incluir las reacciones externas necesarias para mantener el equilibrio.

Entonces si:

2.n = m + r la estructura es estáticamente determinada internamente y

m = 2.n–r representaría la ecuación que define el número de barras mínimas para asegurar la estabilidad interna. Esta ecuación es necesaria pero no suficiente, ya que se debe verificar también la formación de la estructura en general, por ejemplo al hacer un corte siempre deben existir barras de tal manera que generen fuerzas perpendiculares entre sí (caso de corte y axial) y posibles pares de momento resistente.

Si m > 2 n – r la armadura es estáticamente indeterminada internamente, r sólo incluye aquellas reacciones necesarias para la estabilidad externa ya que sólo estamos analizando determinación interna.

Ejemplos:

1.

Determinación interna:

...