Torque y equilibrio de cuerpo rígido

Cap. 6 Torque y equilibrio.

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CAPÍTULO 6. TORQUE Y EQUILIBRIO DE CUERPO RÍGIDO.

En general un cuerpo puede tener tres tipos distintos de movimiento simultáneamente.

De traslación a lo largo de una trayectoria, de rotación mientras se

está trasladando, en este caso la rotación puede ser sobre un eje que pase por

el cuerpo, y si a la vez este eje esta girando en torno a un eje vertical, a la rotación

del eje del cuerpo rotante se le llama movimiento de precesión (por

ejemplo un trompo), y de vibración de cada parte del cuerpo mientras se traslada

y gira. Por lo tanto el estudio del movimiento puede ser en general muy

complejo, por esta razón se estudia cada movimiento en forma independiente.

Cuando un cuerpo está en rotación, cada punto tiene un movimiento distinto

de otro punto del mismo cuerpo, aunque como un todo se esté moviendo de

manera similar, por lo que ya no se puede representar por una partícula. Pero

se puede representar como un objeto extendido formado por un gran número

de partículas, cada una con su propia velocidad y aceleración. Al tratar la rotación

del cuerpo, el análisis se simplifica si se considera como un objeto rígido

y se debe tener en cuenta las dimensiones del cuerpo.

Cuerpo rígido. Se define como un cuerpo ideal cuyas partes (partículas que lo

forman) tienen posiciones relativas fijas entre sí cuando se somete a fuerzas

externas, es decir es no deformable. Con esta definición se elimina la posibilidad

de que el objeto tenga movimiento de vibración. Este modelo de cuerpo

rígido es muy útil en muchas situaciones en las cuales la deformación del objeto

es despreciable.

El movimiento general de un cuerpo rígido es una combinación de movimiento

de traslación y de rotación. Para hacer su descripción es conveniente estudiar

en forma separada esos dos movimientos.

6.1 TORQUE DE UNA FUERZA.

Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, el cuerpo

tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje. La propiedad

de la fuerza para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que

llamamos torque o momento de la fuerza. Se prefiere usar el nombre torque y

no momento, porque este último se emplea para referirnos al momento lineal,

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al momento angular o al momento de inercia, que son todas magnitudes físicas

diferentes para las cuales se usa el mismo término.

Analizaremos cualitativamente el efecto de rotación que una fuerza puede

producir sobre un cuerpo rígido. Consideremos como cuerpo rígido a una regla

fija en un punto O ubicado en un extremo de la regla, como se muestra en

la figura 6.1, sobre el cual pueda tener una rotación, y describamos el efecto

que alguna fuerza de la misma magnitud actuando en distintos puntos, produce

sobre la regla fija en O. La fuerza F1 aplicada en el punto a produce en torno a

O una rotación en sentido antihorario, la fuerza F2 aplicada en el punto b produce

una rotación horaria y con mayor rapidez de rotación que en a, la fuerza

F3 aplicada en b, pero en la dirección de la línea de acción que pasa por O, no

produce rotación (se puede decir que F3 ‘empuja’ a la regla sobre O, pero no

la mueve), F4 que actúa inclinada en el punto b produce una rotación horaria,

pero con menor rapidez de rotación que la que produce F2; F5 y F6 aplicadas

perpendiculares a la regla, saliendo y entrando en el plano de la figura respectivamente,

no producen rotación. Por lo tanto existe una cantidad que produce

la rotación del cuerpo rígido relacionada con la fuerza, que es lo que definimos

como el torque de la fuerza.

Figura 6.1

Se define el torque τ de una fuerza F que actúa sobre algún punto del cuerpo

rígido, en una posición r respecto de cualquier origen O, por el que puede pasar

un eje sobre el cual se produce la rotación del cuerpo rígido, al producto

vectorial entre la posición r y la fuerza aplicada F, por la siguiente expresión:

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r F

r r r τ = ×

(6.1)

El torque es una magnitud vectorial, si α es el ángulo entre r y F, su valor

numérico, por definición del producto vectorial, es:

τ = r(Fsenα )

(6.2)

su dirección es siempre perpendicular al plano de los vectores r y F, cuyo diagrama

vectorial se muestra en la figura 6.2, su sentido esta dado por la regla

del producto vectorial, la regla del sentido de avance del tornillo o la regla de

la mano derecha. En la regla de la mano derecha los cuatro dedos de la mano

derecha apuntan a lo largo de r y luego se giran hacia F a través del ángulo α ,

la dirección del pulgar derecho estirado da la dirección del torque y en general

de cualquier producto vectorial.

Figura 6.2

Por convención se considera el torque positivo (negativo) si la rotación que

produciría la fuerza es en sentido antihorario (horario); esto se ilustra en la

figura 6.3. La unidad de medida del torque en el SI es el Nm (igual que para

trabajo, pero no se llama joule).

Cap. 6 Torque y equilibrio.

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Figura 6.3

El torque de una fuerza depende de la magnitud y dirección de F y de su punto

de aplicación respecto a un origen O. Si la fuerza F pasa por O, r = 0 y el torque

es cero. Si α = 0 o 180º, es decir, F está sobre la línea de acción de r,

Fsenα = 0 y el torque es cero. F senα es la componente de F perpendicular a

r, sólo esta componente realiza torque, y se le puede llamar F⊥. De la figura

6.3 también se ve que r⊥ = r senα es la distancia perpendicular desde el eje de

rotación a la línea de acción de la fuerza, a r⊥ se le llama brazo de palanca de

F. Entonces, la magnitud del torque se puede escribir como:

τ = r(Fsenα ) = F(rsenα ) = rF⊥ = r⊥F

Ejemplo 6.1: Calcular el torque respecto al origen, producido por una fuerza

F = (4i - 5j) N, que se aplica a un objeto en la posición r = (2i + j) m.

Solución: Aplicando la definición de producto vectorial, se obtiene:

4 5 0

2 1 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

−

= × = =

i j k

F F F

x y z

i j k

r F

x y z

r r rτ

Nm kˆ -14 ˆ 14 ˆ 0 ˆ 0 = −

...