Estatica De La Parcitcula

ESTÁTICA DE LA PARTÍCULA

1. REPRESENTACIÓN VECTORIAL DE FUERZAS

Las FUERZAS se pueden representar a través de VECTORES los cuáles son

entidades matemáticas que poseen:

• Norma o Módulo del Vector: es la magnitud o tamaño de la flecha.

• Dirección: es el ángulo que forma la línea de acción del vector con respecto a

un eje de referencia.

• Sentido: es la orientación de la flecha.

Es importante indicar que el punto donde se origina el Vector se llama PUNTO DE

APLICACIÓN.

Figura 1.1

Las operaciones que se pueden realizar con los Vectores son las siguientes:

1. Suma y Resta Vectorial

2. Descomposición Vectorial

3. Producto de un Escalar por un Vector

4. Producto Escalar de Vectores (también llamado producto punto)

5. Producto Vectorial de Vectores (también llamado producto cruz)

Todas estas operaciones tienen aplicaciones en la Mecánica. La suma, resta y

descomposición vectorial se utilizan al aplicar la primera condición de equilibrio.

5 Kg.

0

Resistencia de Materiales TECSUP – PFR

2

El producto de un vector por un escalar y el producto cruz se utilizan al aplicar la

segunda condición de equilibrio a cuerpos rígidos ósea en estática tridimensional.

Y finalmente el producto escalar de vectores se utiliza para determinar el trabajo

realizado por una partícula en una trayectoria curvilínea.

Es importante que el alumno aprenda las operaciones vectoriales básicas para

poder aplicar estas técnicas en problemas reales. La ventaja de la mecánica

vectorial es que es un método generalizado bajo las reglas operativas entre

vectores, lo cual puede despojar de los complejos ropajes que un problema

puede llevar y permite que veamos la esencia del mismo. Si bien los vectores

son entes matemáticos abstractos sus aplicaciones son muy útiles a situaciones

prácticas como ya se verá más adelante.

2. OPERACIONES VECTORIALES

2.1. SUMA Y RESTA DE DOS VECTORES

Se define la suma vectorial como el reemplazo de un conjunto de

vectores que se están "sumando" por otro único vector al cual se le

denomina "resultante" y que físicamente produce el mismo efecto que los

vectores sumados. Existen varios métodos para determinar la resultante,

geométricos y analíticos.

2.2. MÉTODOS GEOMÉTRICOS

2.2.1. POR TRIANGULACIÓN

a. Suma:

b. Resta:

Figura 1.2

A

-B

R = A + (-B)

A

B

A

B

R = A + B

A

B

TECSUP – PFR Resistencia de Materiales

3

2.2.2. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

a. Suma:

b. Resta:

Figura 1.3

2.3. MÉTODOS ANALÍTICOS

a. Suma:

Figura 1.4

R2 = A2 + B2 – 2AB Cos (180 - θ)

Cos (180 - θ) = - cos θ

R2 = A2 + B2 + 2AB Cos θ

b. Resta:

R2 = A2 + B2 – 2AB Cos θ

Figura 1.5

A

B R = A + B

A

B

A

B R = A -B

A

B

A

B

R

θ 180º

θ

A

B

R

θ

A

θ

A

- B

Resistencia de Materiales TECSUP – PFR

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2.4. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

La descomposición vectorial es la operación inversa a la suma de dos

vectores. Es decir que consiste en separar o descomponer un vector en

dos vectores tales que sumados vectorialmente den como resultado el

vector que se quiere descomponer. La descomposición de un vector en

dos dimensiones se puede realizar sobre cualquier par de rectas no

paralelas.

Figura 1.6

Pero la descomposición que cobra importancia es aquella cuando entre las rectas

de descomposición existe un ángulo recto de separación; a este tipo de

descomposición se le llama DESCOMPOSICIÓN EN COMPONENTES

RECTANGULARES.

Figura 1.7

P = F

Q = F

VECTOR: F = Fx i + Fy j

COMPONENTE EN EL EJE "x": Fx = Fcosθ

COMPONENTE EN EL EJE "y": Fy = Fsenθ

MÓDULO: F

DIRECCIÓN: θ ( medido siempre desde "+x")

VECTOR UNITARIO EN "X": i

VECTOR UNITARIO EN "Y": j

TECSUP – PFR Resistencia de Materiales

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2.5. SUMA DE TRES O MÁS VECTORES

Cuando se suman tres o más vectores se procede de la siguiente manera:

1. Se descomponen todos los vectores en sus componentes

rectangulares. La dirección siempre se debe tomar respecto al eje

"+x".

2. Se suman algebraicamente las componentes a lo largo de cada eje.

Así se tienen las resultantes a lo largo de cada eje:

3. La resultante Vectorialmente es:

4. El módulo y dirección de este vector son:

EJEMPLO: Determine la resultante de los siguientes vectores.

Figura 1.8

β

α

--γ

A

B

C

x

y

Rx = ΣVx

Ry = ΣVy

F = Rx i + Ry

R = Rx2 + Ry 2

Rx

θ = arctg Ry

Resistencia de Materiales TECSUP – PFR

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Paso 1 Descomponer en las componentes rectangulares.

• A = Ax i + Ay j = A cos α i + A sen α j

• B = Bx i + By j = B cos β i + B sen βj

• C = Cx i + Cy j = C cos (-γ)i + C sen (-γ) j

Paso 2 Sumar algebraicamente las componentes.

• Rx = Ax + Bx +Cx

• Ry = Ay + By + Cy

Paso 3 La resultante vectorial es:

• R = Rx i + Ry j

Paso 4 EL módulo y dirección son:

R = Rx2 + Ry2

Rx

θ = arctg Ry

3. PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO - BIDIMENSIONAL

Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio estático la suma de todas las

fuerzas que actúan sobre él debe ser nula. A este criterio se le conoce como

PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO. Está condición es necesaria pero no

suficiente cuando se analizan cuerpos rígido cuyas fuerzas no son concurrentes

en un mismo punto, sino son fuerzas en un mismo plano. Para cuerpos rígidos

en donde todas las fuerzas se aplican en un mismo punto, se dice que se le

considera como una PARTÍCULA y la primera condición de equilibrio en esos

casos es suficiente para lograr el

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