Fasores Cd-ce

INTRODUCCIÓN

En este último trabajo de investigación, hablaremos sobre tres temas en la materia análisis de circuitos de corriente directa y corriente alterna.

Hablaremos sobre:

• Fasores

• Números complejos

• Circuitos RLC

En este trabajo daremos, definición concreta, solida con ejemplos directos y completos, también; conclusiones de lo que hemos entendido los tres integrantes del equipo.

INDICE

Hoja de presentación……………………………………………………………...1

Introducción……………………………………………………………………...…2

Índice………………………………………………………………………………..3

Bibliografía………………………………………………………………………….4

Fasores……………………………………………………………………………..5

Diferenciación de fasores…………………………………………………………6

Integración de fasores…………………………………………………………….7

Representación fasorial…………………………………………………………..9

Números complejos..…………………………………………………………….10

Circuitos RLC……………………………………………………………………..14

Conclusiones……………………………………………………………………..16

Bibliografía

[1] Wsewolod Warzanskyj Poliscuk. Análisis de Circuitos. Departamento de publicaciones de E.T.S de Telecomunicación de Madrid, Madrid 1995, pág. 6-12.

[2] James W. Nilsson, Susan A. Riedel. Electric Circuits. Prentice-Hall, 1999, pág. 417-422, 458-462.

[2] Boylestad R. – “Análisis introductorio de circuitos”, Prentice Hall, Décima edición, 2004.

[1] Rudy Albano. –“Electricidad y Circuitos, Circuitos RLC y teorias.” Prentice Hall, Primera Edición, 2011.

FASORES

Definición y explicación

Los fasores nos van a permitir trabajar con las funciones senoidales de una forma más fácil en algunas ocasiones como al integrar y al derivar.

Como se puede ver el voltaje con la expresión:

con y una corriente con la expresión

con , donde

Definición de fasor: es una cantidad compleja que se emplea para representar funciones del tiempo que varían de forma senoidal. es un número complejo con:

1. módulo: la amplitud de la magnitud que representa.

2. fase: la fase de dicha magnitud en t=0.

El fasor se relaciona con las funciones senoidales a través de la siguiente expresión:

Para poder usarlo en las ecuaciones integro-diferenciales se necesita ver cómo responden a esas operaciones.

Diferenciación con fasores

Si tenemos una función g(t) con su parte real x(t) y su parte imaginaria y(t), y definimos la función:

diferenciando f(t):

Si diferenciamos g(t) y luego tomamos la parte real:

Al final:

Las relaciones que tenemos en la diferenciación son:

Integración con fasores

Con la función h(t) definida como la integración de f(t):

Las relaciones que hay en la integración se pueden ver a continuación:

Por lo tanto, se pueden resolver las ecuaciones integro-diferenciales que aparecen en régimen permanente senoidal mediante la utilización de fasores. Esto se debe a que las derivadas y las integrales se transforman en multiplicaciones y divisiones por y así estas ecuaciones se convierten en algebraicas mediante fasores.

NÚMEROS COMPLEJOS

Es posible establecer una relación directa entre los números complejos y las funciones sinusoidales que nos va a permitir representar cualquier función sinusoidal con un número complejo que gira en torno al origen a una velocidad constante.

Sea un número complejo z = A0e jϕ0 . Si lo representamos en el plano complejo sus partes real e imaginaria se corresponderán con las proyecciones sobre los ejes coordenados:

Re[z] = A0cosϕ0

Im[z] = A0senϕ0

Representación geométrica de un número complejo:

Si multiplicamos este número complejo z por otro e jφ lo estaremos rotando φ radianes respecto al origen. Si además φ varía con el tiempo de la forma φ(t) =ω0t , el producto z(t) = A0e jϕ0 e jω0t representa un número complejo de módulo A0 que gira a razón de ω0 radianes por unidad de tiempo en torno al origen del plano complejo. A este número complejo que gira se le denomina fasor, y sus partes real e imaginaria son respectivamente:

Re[A0e jϕ0 e jω0t ] = A0cos(ω0t +ϕ0 )

Im[A0e jϕ0 e jω0t ] = A0sen(ω0t +ϕ0 )

Equivalencia entre funciones sinusoidales y números complejos:

En conclusión, podemos expresar cualquier señal sinusoidal como la parte real o imaginaria de un fasor de módulo igual a la amplitud máxima de la señal, de argumento igual a su fase inicial, y que gira a una velocidad angular igual a la pulsación de la señal.

Según se ha visto en el capítulo anterior, la resolución de circuitos se obtiene de la aplicación conjunta de las Leyes de Kirchhoff y de las características i-v de los dispositivos involucrados. En nuestro caso, ello supone sumas, escalados, derivaciones e integraciones de señales de tensión o corriente.

En esta sección se pretende demostrar que si las señales involucradas son sinusoides de igual pulsación o frecuencia, es posible efectuar todas las operaciones con fasores en vez de con sinusoides, lo que simplifica enormemente la operativa.

SUMA

San dos sinusoides y1(t) e y2(t) de la forma:

...