Generacion De Variaciones

Generación de variables aleatorias

La generación de cualquier variable aleatoria se va a basar en la generación previa de una

distribución uniforme (0,1), visto en el tema anterior. En este capítulo vamos a estudiar ciertas

transformaciones o algoritmos que nos van a transformar dichos números generados en valores de

otras distribuciones.

Introducción

Buscamos métodos que nos permitan obtener valores de variables aleatorias que sigan

determinadas distribuciones de probabilidad a partir de los números aleatorios generados, que siguen

la distribución Uniforme en el intervalo (0,1).

Hay cuatro métodos generales de generación de variables aleatorias y una serie de métodos

particulares de las distintas distribuciones.

La facilidad de aplicación de dichos métodos, así como el coste computacional asociado a los

mismos, varía mucho según la familia de variables aleatorias a las que se apliquen.

Normalmente existen varios algoritmos que se pueden utilizar para generar valores de una

determinada distribución, y diferentes factores que se pueden considerar para determinar qué

algoritmo utilizar en un caso particular. Desafortunadamente dichos factores suelen entrar en conflicto

unos con otros y a veces se ha de llegar a una solución de compromiso.

Métodos generales

Los métodos generales para la generación de variables aleatorias son: Método de Inversión, de

Aceptación-Rechazo, de Composición y de Convolución. A continuación pasamos a estudiarlos.

Método de Inversión

La función de distribución (también llamada función de distribución acumulativa), F(x), de

una variable aleatoria X es definida para cada número real x como sigue:

F(x)=P(X≤x) para -∞<x<∞

donde P(X≤x) es la probabilidad asociada con el suceso {X≤x}. Así F(x) es la probabilidad,

cuando se ha realizado el experimento, de que la variable X tome un valor menor o igual que x.

Una función de distribución F(x) tiene las siguientes propiedades:

• 0≤ F(x)≤ 1 ∀x.

• F(x) es no decreciente (es decir, si x1<x2, entonces F(x1)<F(x2)).

•

lim F

x→∞



( x) 1

y lim F

x→−∞



(x) 0

(ya que X sólo toma valores finitos).

Una variable aleatoria X se dice que es discreta si puede tomar unos valores determinados, no

pudiendo tomar ningún valor comprendido entre dos consecutivos. Así la variable sólo puede tomar un

conjunto finito de valores x1, x2, ..., xn. La probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor xi

es dado por:

p(xi)=P(X=xi) para i=1, 2,...

y se tiene que

∑∞

i1



p( xi) 1

donde la sumatoria significa la suma de todas las probabilidades p(x1), p(x2),... Todas las

probabilidades acerca de X se pueden calcular desde p(x), a la cual se le llama función de probabilidad

para la variable discreta X. Si I=[a,b], donde a y b son números reales tales que a≤b.

Métodos concretos para distribuciones continuas

Distribución Uniforme

La distribución uniforme en el intervalo (a,b) (U(a,b)) tiene como función de densidad y de

distribución las siguientes:

Como los números aleatorios que generamos siguen la distribución uniforme en el intervalo

(0,1), para generar valores de una distribución uniforme en cualquier intervalo (a,b) sólo tenemos que

hacer un cambio de intervalo:

Generar u (sigue U(0,1))

xa+(b-1)u

salida x

La distribución uniforme es usada como modelo en primera aproximación, para cantidades

aleatorias que varía entre a y b.

Distribución Normal o de Gauss

La función de densidad normal (o gaussiana) fue propuesta por C.F. Gauss (1977-1855) como

modelo para la distribución de frecuencia relativa de errores, como los errores de medición. Esta curva

con forma de campana es un modelo adecuado para las distribuciones de frecuencia relativa de datos

recabados de muchas áreas científicas diferentes y modela las distribuciones de probabilidad de

muchas estadísticas que utilizaremos para hacer inferencias.

La variable aleatoria normal posee una función de densidad caracterizada por dos parámetros,

su media y su varianza (  y 2 respectivamente). La media  mide la ubicación de la distribución y la

desviación estándar  mide su dispersión.

La distribución Normal tiene como función de densidad la siguiente:

1 x 2

1

− −

 

( ) 

f x



2 2

e

2  



−∞x ∞

No es posible obtener una expresión de forma cerrada para la integral de la función de

densidad normal. Sin embargo, podemos calcular áreas bajo la normal utilizando procedimientos de

aproximación y el siguiente teorema:

Teorema: Si y es una variable aleatoria normal con media  y varianza 2, entonces

z y−es una variable aleatoria normal con media 0 y varianza 1.



Quizás la más importante distribución continua no uniforme es la distribución normal con

media 0 y desviación típica 1. Dicha distribución es llamada, a menudo, distribución normal unidad o

estándar.

La inversa de su función de distribución no es fácil de calcular, pero hay otros métodos para

obtener valores de ella.

Método Polar

Se usa para generar valores de la distribución N(0,1), hay dos aproximaciones diferentes de

dicho método:

1) Propuesta de Marsaglia y Brax:

Se inscribe un círculo de radio 1 en un cuadrado de lado 2, se generan números aleatorios

aceptando como salidas aquellos que caen dentro del círculo y rechazando los que caen dentro del

cuadrado pero fuera del

...