Investigación De Operaciones

3.1 Conceptos básicos de problemas de programación no lineal.

La programación lineal ha demostrado ser una herramienta sumamente poderosa, tanto en la modelización de problemas de la vida real como en la teoría matemática de amplia aplicación. Sin embargo, muchos problemas interesantes de optimización son no lineales. El estudio de estos problemas implica una mezcla diversa de álgebra lineal, cálculo multivariado, análisis numérico y técnicas de computación. Entre las áreas especiales importantes se encuentra el diseño de algoritmos de computación (incluidas las técnicas de puntos interiores para programación lineal), la geometría y el análisis de conjuntos convexos y funciones, y el estudio de problemas especialmente estructurados, tales como la programación cuadrática. La optimización no lineal proporciona información fundamental para el análisis matemático, y se usa extensamente en las ciencias aplicadas (en campos tales como el diseño de ingeniería, el análisis de regresión, el control de inventario y en la exploración geofísica).

Programación no lineal (PNL) es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con una función objetivo a maximizar, cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales.

Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones (función objetivo y funciones de restricción) son lineales. Aunque, en esencia, esta suposición se cumple para muchos problemas prácticos, con frecuencia no es así. De hecho muchos economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción, en los problemas

de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de programación no lineal, lo cual vamos a analizar enseguida.

De la manera general el problema de programación no lineal consiste en encontrar:

X=(X1, X2, X3, X4, XN) para

Maximizar f(X), sujeta a

Gi(X)<= bi para i=1,2…..m,

Y X=>0,

Donde f(X) y gi(x) son funciones dadas de n variables de decisión.

Ejemplo:

La programación multinivel parece a principios de los años ochenta como un nuevo modelo de programación matemática que generaliza la programación matemática estándar para el tratamiento de sistemas jerárquicos. Debido a la complejidad del problema, en la literatura se han considerado, casi de manera exclusiva, problemas de programación multinivel con sólo dos niveles de decisión, denominados problemas de programación baivel. En la Tesis Doctoral se han obtenido resultados relativos al problema de programación baivel cuasi cóncavo, analizado por primera vez en la literatura, en el que las funciones objetivo de ambos niveles de decisión son cuasi cóncavas y la región de factibilidad definida por el conjunto de restricciones comunes a ambos niveles de decisión es un poliedro. En primer lugar, se demuestran propiedades geométricas de la región inducida o región de factibilidad del primer nivel de decisión: es continua y conexa, está contenida en la frontera del poliedro y está formada por la unión finita de caras propias completas del mismo. Estas propiedades permiten demostrar el resultado principal en relación con la solución óptima global del problema baivel cuasi cóncavo cuando se supone que el problema del nivel inferior tiene óptimo único. Existe un punto extremo del poliedro que es una solución óptima global del problema. Si se relaja la hipótesis de óptimo único en el problema del nivel inferior, bajo

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