MATEMÁTICAS BÁSICAS

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoríadeconjuntos Autor:Dr.JoséManuelBecerraEspinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS

TEORÍA DE CONJUNTOS

DEFINICIÓN DE CONJUNTO

Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con

certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan

letras mayúsculas.

Cuando un elemento x1 pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: x1 ∈ A . En

caso de que un elemento y1 no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: y1 ∉ A

Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:

1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por

comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.

2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece

entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es:

A   x

Px   x1 ,x2 ,x3 ,⋅ ⋅ ⋅ , xn 

que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición Px es

1

3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un

2

4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los

elementos.

Ejemplo.

Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo por extensión, comprensión y

por diagrama de Venn.

Solución.

Por comprensión: V  x x es una vocal 

a

i

Por diagrama de Venn:

o

1 La notación

Px

u

e

V

no representa un producto, es una condición que deben satisfacer los elementos para pertenecer a un

conjunto.

2 En el caso particular de que un conjunto tenga un sólo elemento numérico, a menos de que se haga la distinción, no representa el

número de elementos que posee el conjunto.

1

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Ejemplo.

Expresar de las tres formas al conjunto de los planetas del sistema solar.

Solución.

Por comprensión: P   x x es un planeta del sistema solar 

Por diagrama de Venn:

Urano

Marte

Neptuno

Saturno

Plutón

Mercurio

Júpiter

Venus

Tierra

P

Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B , se dice que A es un

subconjunto de B . La notación A ⊂ B significa que A está incluido en B y se lee: “ A es subconjunto

de B ” o “ A está contenido en B ”.

Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B , se dice que A no es

subconjunto de B . En este caso la notación A ⊄ B significa que A no es un subconjunto de B .

Gráficamente, esto es:

B

B

B

A

A

A

A ⊂ B

B ⊄ A

A ⊄ B

B ⊄ A

A ⊄ B

B ⊄ A

En los ejemplos anteriores, si F  a,e,o  es el conjunto de las vocales fuertes y

S  Mercurio,Venus  es el conjunto de planetas que no poseen satélites, entonces se cumple que:

F ⊂ V y que S ⊂ P . De la misma forma, nótese como: F ⊄ P , S ⊄ V , F ⊄ S y S ⊄ F .

La cardinalidad de un conjunto se define como el número de elementos que posee. Se denota por medio

de los símbolos  o # .

De los conjuntos anteriores: V   5 , F   3 , P  9 y S   2 .

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CONJUNTOS CON NOMBRES ESPECÍFICOS

 Un conjunto vacío o nulo es aquel que no posee elementos. Se denota por:  o bien por  . El

conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.

Ejemplos.

    x

   x

x son los dinosaurios que viven en la actualidad

x son los hom bres mayores de 300 años 

x son números positivos menores que cero 



 Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Se denota por

U . Gráficamente se le representará mediante un rectángulo.

Ejemplos.

A   x

B   x

C   x

x son los días de la semana  lunes ,martes ,miércoles , jueves ,viernes ,sábado ,domingo 

x son los días de la semana inglesa lunes,martes,miércoles, jueves,viernes

x son los días del fin de semana  sábado,domingo 

x son los días de la semana con menos de siete letras  lunes,martes, jueves,sábado

Nótese cómo: A ⊂ U ,

B ⊂ U , C ⊂ U

 Un conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados.

Ejemplos.

K   x

L   x

x es el número de un día del mes de junio 

x2  4 

x es la cantidad de autos en la ciudad de México 

...