METODO DE EULER

Método de Euler

El método de Euler rara vez se utiliza en la práctica para obtener la solución aproximada de un problema de valor inicial, pero se estudia por su simplicidad en la derivación de la fórmula y de la determinación del error. Los métodos de orden superior utilizan las mismas técnicas, pero el álgebra que requieren es mucho más complicada.

Con el método de Euler se obtiene una solución aproximada de un problema de valor inicial como el que se muestra en la ecuación (1), en un conjunto finito de puntos.

(1)

Para empezar, se determina la malla {t0, t1, ... , tN} de paso h, donde t0 = a y tN = b. En estos puntos es donde se va a obtener la aproximación de la solución.

Para determinar la fórmula del método, se parte de un desarrollo de Taylor de la función solución y(t), alrededor de un punto de la malla, ti, suponiendo que la función y(t) posee derivadas primera y segunda continuas en (a, b):

(2)

Evaluando esta expresión en t = ti+1, para cualquier i, se tiene:

(3)

Pero como ti+1- ti = h, resulta:

(4)

Como y(t) satisface la ecuación diferencial, en particular es y'(ti) = f(ti, yi), entonces reemplazando en la fórmula (4) resulta:

(5)

Si se elimina de la fórmula anterior el término del error, se puede escribir:

(6)

Resultando así la fórmula del método de Euler para aproximar la solución en un punto de la malla, teniendo una aproximación en el punto inmediato anterior. Como la condición en el punto a del problema de valor inicial da el valor inicial y(t0)=, se tiene entonces la solución aproximada en todos los puntos de la malla. Si se llaman yi = y(ti), se tiene entonces la fórmula de Euler dada en la fórmula (7):

(7)

Implementación del método

A continuación se presenta el algoritmo del método de Euler en pseudocódigo, para resolver un problema de valor inicial del tipo (1). Éste es un algoritmo para una ecuación particular, si se quiere generalizar para una ecuación cualquiera, con f(t, y) arbitraria, se debe ingresar también como argumento la ley de f. Esto se puede implementar en cualquier lenguaje de programación, o en particular, en programas simbólicos o numéricos que permitan programar, como Maple, Mathematica, Scilab o Matlab.

Con los valores obtenidos mediante este algoritmo se puede lograr un gráfico discreto de la solución aproximada, o también se puede aplicar un método de interpolación para obtener una gráfica continua en el intervalo. La lista de valores obtenida con el algoritmo se puede utilizar para comparar resultados, o calcular errores relativos y absolutos respecto de la solución exacta, si se conoce.

Ejemplo

Consideremos el siguiente problema de valor inicial.

La fórmula de Euler para este problema, tomando N puntos en el intervalo [1, 2] (sin contar el punto de partida a = 1), resulta:

(8)

Aplicamos el método de Euler para un paso h = 0,2.

Teniendo en cuenta que h = 0,2, la cantidad de puntos en el intervalo resulta ser N = 5, y entonces la tabla de valores obtenida con la fórmula dada en (8) resulta:

i t y

0 1,00 2,0000

1 1,20 2,4000

2 1,40 2,9760

3 1,60 3,8093

4 1,80 5,0282

5 2,00 6,8384

Ahora, aplicamos la fórmula el método de Euler con N = 20 y N = 50. Representamos gráficamente los puntos obtenidos, comparándolos con la solución exacta, dada por la función

Se ve en los gráficos obtenidos, que a medida que nos alejamos del valor inicial, la solución aproximada pierde precisión (se aleja de la solución exacta), para el paso h = 1/20. Cuando se achica el paso, la solución mejora (h = 1/50).

Análisis del error

Al deducir la fórmula de Euler para aproximar la solución de un PVI tipo (1), al pasar de la expresión (5) a la (6), se descartó en la expresión el error, dado por

(9)

De esta fórmula surge que el error local de truncamiento en

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