Matemáticas Aplicadas

El término matemáticas aplicadas se refiere a todos aquellos métodos y herramientas matemáticas que pueden ser utilizados en el análisis o resolución de problemas pertenecientes al área de las ciencias básicas o aplicadas.

Muchos métodos matemáticos han resultado efectivos en el estudio de problemas en física, química, biología, medicina, ciencias sociales, administración, ingeniería, economía, finanzas, ecología entre otras.

Sin embargo una posible diferencia es que en matemáticas aplicadas se procura el desarrollo de las matemáticas "hacia afuera", es decir su aplicación o transferencia hacia el resto de las áreas. Y en menor grado "hacia dentro" o sea, hacia el desarrollo de las matemáticas mismas. Este último sería el caso de las matemáticas puras o matemáticas elementales.

Las matemáticas aplicadas son usadas frecuentemente en distintas áreas tecnológicas para modelado, simulación y optimización de procesos o fenómenos, como el túnel de viento o el diseño de experimentos.

Áreas de las matemáticas con frecuentes aplicaciones:

• Cálculo.

• Álgebra lineal.

• Teoría de probabilidad.

• Estadística matemática.

• Investigación de operaciones.

• Ecuaciones diferenciales.

• Análisis complejo / Variable compleja.

• Análisis de Fourier.

• Sistemas dinámicos.

• Teoría de control.

• Optimización.

• Matemática discreta.

• Análisis funcional.

Se incluyen como parte central las matemáticas aplicadas el análisis numérico y la computación científica.

ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

Introducción

Muchas veces las decisiones se basan en la relación entre dos o más variables.Ejemplos

Dosis de fertilizantes aplicadas y rendimiento del cultivo.

La relación entre la radiación que reciben los sensores con la que se predicen los rendimientos por parcelas con los rendimientos reales observados en dichas parcelas.

Relación entre tamaño de un lote de producción y horas -hombres utilizadas para realizarlo.

Distinguiremos entre relaciones funcionales y relaciones estadísticas

Relación funcional entre dos variables

Una relación funcional se expresa mediante una función matemática.

Si X es la variable independiente e Y es la variable dependiente, una relación funcional tiene la forma:

Y=f(X)

Ejemplo 1

Parcela Dosis Rendimiento(kg/h)

1

2

3 75

25

130 150

50

260

Figura 1

Relación funcional perfecta entre dosis y rendimientos

Nota: Las observaciones caen exactamente sobre la línea de relación funcional

Relación estadística entre dos variables

A diferencia de la relación funcional, no es una relación perfecta, las observaciones no caen exactamente sobre la curva de relación entre las variables

Ejemplo 2

Lote de productos Tamaño del lote Horas hombre

1

2

3

4

5 30

20

60

80

40 73

50

128

170

87

Figura 2

Relación estadística entre tamaño del lote y horas hombre

Nota: La mayor parte de los punto no caen directamente sobre la línea de relación estadística.

Esta dispersión de punto alrededor de la línea representa la variación aleatoria

Figura 3

Coordenadas de puntos de control utilizados para corregir la columna de los niveles digitales de una imagen satelital

Nota: se trata de un terreno rugoso donde varían notablemente las condiciones de observación del sensor, para corregir errores geométricos de la imagen, se aplican funciones de segundo grado. Los datos sugieren que la relación estadística es de tipo curvilínea.

Conceptos básicos

Análisis de Regresión: Es un procedimiento estadístico que estudia la relación funcional entre variables.Con el objeto de predecir una en función de la/s otra/s.

Análisis de Correlación: Un grupo de técnicas estadísticas usadas para medir la intensidad de la relación entre dos variables

Diagrama de Dispersión: Es un gráfico que muestra la intensidad y el sentido de la relación entre dos variables de interés.

Variable dependiente (respuesta, predicha, endógena): es la variable que se desea predecir o estimar

Variables independientes (predictoras, explicativas exógenas). Son las variables que proveen las bases para estimar.

Regresión simple: interviene una sola variable independiente

Regresión múltiple: intervienen dos o más variables independientes.

Regresión lineal: la función es una combinación lineal de los parámetros.

Regresión no lineal: la función que relaciona los parámetros no es una combinación lineal

Gráfico de dispersión

Los diagramas de dispersión no sólo muestran la relación existente entre variables, sino también resaltan las observaciones individuales que se desvían de la relación general. Estas observaciones son conocidas como outliers o valores inusitados, que son puntos de los datos que aparecen separados del resto.

Gráfico de dispersión entre Bandas

Coeficiente de correlación lineal

El Coeficiente de Correlación (r) requiere variables medidas en escala de intervalos o de proporciones

- Varía entre -1 y 1.

- Valores de -1 ó 1 indican correlación perfecta.

- Valor igual a 0 indica ausencia de correlación.

- Valores negativos indican una relación lineal inversa y valores positivos indican una relación lineal directa

Correlación Negativa Perfecta

Correlación Positiva Perfecta

Ausencia de Correlación

Correlación Fuerte y Positiva

Fórmula para el coeficente de correlación (r) Pearson

Modelos de Regresión

Un modelo de regresión, es una manera de expresar dos ingredientes esenciales de una relación estadística:

- Una tendencia de la variable dependiente Y a variar conjuntamente con la variación de la o las X de una manera sistemática

- Una dispersión de las observaciones alrededor de la curva de relación estadística

Estas dos características están implícitas en un modelo de regresión, postulando que:

- En la población de observaciones asociadas con el proceso que fue muestreado, hay una distribución de probabilidades de Y para cada nivel de X.

- Las medias de estas distribuciones varían de manera

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