Metodos Energeticos

INTRODUCCION

La relación entre una carga aplicada a una maquina o a una estructura y las deformaciones resultantes es una parte importante de la mecánica de materiales. Esta relación carga-deformación se puede determinar y expresar de varias maneras.

La conservación de la energía es un concepto útil en muchas áreas de la ciencia. La aplicación más frecuente de las técnicas energéticas está en el cálculo de pendientes y deflexiones de vigas, marcos, armaduras, y otras estructuras. Las deformaciones de los miembros curvos, el análisis de cargas de impacto, y el movimiento de las armaduras son los problemas en que estas técnicas ofrecen una clara ventaja sobre las técnicas analíticas alternativas.

Hay muchas técnicas que caen bajo la amplia clasificación de métodos energéticos. El trabajo real, el trabajo virtual, y el teorema de Castigliano son los más importantes.

MÉTODOS ENERGÉTICOS

Para estructuras de una cierta complejidad el método anterior resulta de muy difícil aplicación, ya querequiere integrar un número elevado de ecuaciones diferenciales para cada elemento lineal de la estructura.

Un método aproximado consiste en presuponer aproximadamente las deformaciones asociadas al pandeo, que satisfaga las condiciones de contorno en los extremos de las piezas, y en igualar la energía de deformación w_int con el trabajo exterior realizado por la fuerza que produce el fenómeno de pandeo w_ext durante la deformación, w_int = w_ext. Esas dos ecuaciones pueden escribirse en términos el campo de desplazamientos de los momentos flectores asociados. Para cada elemento lineal la energía de deformación y el trabajo exterior vienen dados por:

FORMULA

Dónde:

= es el momento flector sobre la sección de abscisa x,

= es el producto de módulo de Young por el momento de inercia de la sección,

= es la defleción o desplazamiento seccional de la sección de abscisa x.

= es la carga crítica de pandeo.

= es la longitud total del elemento susceptible de sufrir pandeo.

Cuanto más ajustado sea el campo de desplazamientos supuesto w(x) mejores resultados da el método anterior.

ENERGIA DE DEFORMACION

La energía de deformación es el aumento de energía interna acumulado en el interior de un sólido deformable como resultado del trabajo realizado por las fuerzas que provocan la deformación.

Energía de deformación reversible e irreversible

Cuando un sólido se deforma parte aumenta su energía interna, este aumento de energía puede ocasionar cambiostermodinámicos reversibles y/o cambios termodinámicos irreversibles. Por tanto la energía de deformación admite la siguiente descomposición:

FORMULA

Donde el primer sumando es la energía invertida en provocar sólo transformaciones reversibles comúnmente llamada energía potencial elástica. El segundo sumando representa la energía invertida en diversos procesos irreversibles como: plastificar, fisurar o romper, etc. el sólido.

En el caso general de un sólido isótropo elástico, durante un proceso de deformación reversible a temperatura constante, los incrementos de energía potencial elástica w, de energía interna u y de energía libre de Helmholtz f = u + Ts por unidad de volumen son iguales:

FORMULA

De hecho la energía libre de Helmholtz f por unidad de volumen está relacionada con las componentes εij del tensor deformación mediante la siguiente relación:

FORMULA

Y la conexión entre tensiones y deformaciones viene dada por relaciones termodinámicas, en concreto, si derivamos la energía libre de Helmholtz respecto a las componentes de deformación, llegamos a las ecuaciones de Hooke-Lamé en función de los coeficientes de Lamé:

Energía potencial elástica

La energía de deformación Edef o energía potencial elástica para un sólido deformable viene dada por el producto las componentes del tensor tensión y tensor deformación. Si además la deformación ocurre dentro del límite elástico, la energía de deformación viene dada por:

FORMULA

Donde:

, son las componentes del tensor tensión.

, son respectivamentelos módulos de elasticidad longitudinal y transversal.

Descomposición de la energía elástica

La energía de deformación se puede descomponer además en una energía de deformación volumétrica o trabajo invertido en comprimir o expandir una determinada porción del sólido y energía de distorsión o trabajo invertido en cambiar la forma del cuerpo (sin alterar el volumen):

Donde cada uno de los sumandos viene dado por:

Donde hemos hecho intervenir el módulo de compresibilidad K, que es la constante elástica que da cuenta de los cambios del volumen de un cuerpo bajo presión uniforme. Y hemos re expresado la energía de distorsión en términos de las tres tensiones principales.

Energía de deformación elástica en vigas y pilares

Cuando un prisma mecánico como una viga o un pilar se encuentra sometido a un esfuerzo normal, de torsión, de flexión se producen tensiones y deformaciones relacionadas por la ley de Hooke. Existen métodos de cálculo de estructuras, en que al ocurrir una deformación, se efectúa un trabajo (similar a un resorte), por lo que es posible realizar el cálculo de deformaciones, con base al trabajo realizado por la deformación. A este método se le conoce como método energético.

Si se usa un sistema de coordenadas en que el eje baricéntrico de la barra coincide con el eje X y los ejes Y y Z con las direcciones principales de inercia de la sección, la energía de deformación por unidad de volumen de una barra recta (viga o pilar) sometidaa extensión, torsión, flexión y cortante, viene dada por:

FORMULA

Donde son las energías debidas únicamente a la extensión, la flexión impura y la torsión tomadas aisladamente. El término aparece sólo en piezas asimétricas donde el centro de cortante no coincide con el centro de gravedad. Las expresiones de estos términos de la energía de deformación cuando existen simultáneamente flexión y torsión son:

FORMULA

Donde:

es el vector de desplazamientos de los puntos del eje de la pieza.

son los giros de los puntos de eje de la pieza, alrededor de los tres ejes y el giro de alabeo.

son las características geométricas de la sección: el área transversal, el momento de inercia en Y, el momento de inercia en Z, el momento de torsión y el momento de alabeo, además es un parámetro adimensional

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